群論　(15)同型定理

準同型写像$~\psi:G/K\to H~$の存在と一意性は準同型定理(定理29)で$~N=\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$とすれば明らかである。

$\psi:G/K\to H~;~gK\mapsto \varphi(g)~$を$~\psi:G/K\to\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$とみなす。
いま、$\psi(gK)=e_H~$なら、$\varphi(g)=e_H~$なので、$g\in K~$となり、 $gK=K~$は$~G/K~$の単位元である。
よって、$\psi~$は単射となる。
$g\in G~$なら、$\varphi(g)=\psi(gK)~$なので、 $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi\subset\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\psi~$である。
$G/K~$の任意の元は$~gK~$という形をしているので$~\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\psi\subset\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$となる。
よって、$\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\psi=\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$であり、 $G/K~$と$~\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$は$~\psi~$により同型である。

$(1)~$ $e_G\in H,N~$なので、$e_G=e_Ge_G\in HN~$である。
$h_1,h_2\in H,n_1,n_2\in N~$なら \begin{align} (h_1n_1)(h_2n_2)\in(h_1N)(h_2N)&=h_1(Nh_2)N\\ &=h_1(h_2N)N\subset HN \end{align} となるので、$HN~$は演算について閉じている。
$h\in H,n\in N~$なら、$(hn)^{-1}=n^{-1}h^{-1}\in Nh^{-1}=h^{-1}N\subset HN~$となる。
よって、$HN~$は群$~G~$の部分群である。
また、任意の$~h\in H~$に対して、$hN=Nh~$なので$~HN=NH~$である。

$(2)~$ $\varphi:H\to HN/N~;~h\mapsto hN~$は全射準同型写像である。

$x\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$をとると、$\varphi(x)=xN=N~$なので、$x^{-1}1_N\in N~$である。
よって、$x\in N~$となり、$x\in H\cap N~$である。
逆に、$x\in H\cap N~$とすると、$x^{-1}1_N\in N~$より、$xN=N~$となる。
つまり、$\varphi(x)=N~$である。
したがって、$\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=H\cap N~$である。

よって、$H\cap N=\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi\vartriangleleft H~$であり、 第一同型定理より$~HN/N\simeq H/(H\cap N)~$となる。

$(1)~$ $x\in G,y\in N~$なら、$N\subset N'~$なので、$xyN'=xN'~$である。
よって、$\varphi(xN)=xN'~$とおくと、$\varphi~$は$~G/N~$から$~G/N'~$への準同型写像になる。

$(2)~$ $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=N'/N~$なので、第一同型定理より$(2)$を得る。

条件を満たす$~\psi~$が存在したとする。
$\varphi=\psi\circ\pi~$なので、$N=\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\pi\subset\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$である。