群論 (7)準同型写像
$G_1,G_2~$を群、$\varphi:G_1\rightarrow G_2~$を写像とする。
$$ {}^{\forall}x,y\in G_1,\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y) $$ となるとき、$\varphi~$を準同型写像(または、単に準同型とも)という。
またこのとき、$\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=\{x\in G_1\mid\varphi(x)=e_{G_2}\}~$ を$~\varphi~$の核(kernel)といい、
$\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi=\{\varphi(x)\mid x\in G_1\}~$を$~\varphi~$の像(image)という。
$(1)~$ $\varphi(e_{G_1})=\varphi(e_{G_1}e_{G_1})=\varphi(e_{G_1})\varphi(e_{G_1})~$なので、$\varphi(e_{G_1})=e_{G_2}~$である。
$(2)~$ 任意の$~x\in G_1~$に対して$~e_{G_2}=\varphi(xx^{-1})=\varphi(x)\varphi(x^{-1})~$なので、$\varphi(x)^{-1}=\varphi(x^{-1})~$である。
$(3)~$
$(1)$より$~e_{G_1}\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$である。
任意の$~x,y\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$に対して$~\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)=e_{G_2}~$なので、$xy\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$である。
$(2)$より、${}^{\forall}x\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$に対して$~\varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1}=e_{G_2}~$なので、$x^{-1}\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$である。
したがって、$\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$は$~G_1~$の部分群となる。
$(1)$より$~e_{G_2}\in\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$である。
任意の$~x,y\in G_1~$に対して$~\varphi(x),\varphi(y)\in\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$であり、$\varphi(x)\varphi(y)=\varphi(xy)\in\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$なので、$\varphi(x)\varphi(y)\in\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$となる。
$\varphi(x)^{-1}=\varphi(x^{-1})\in\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$である。
したがって、$\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$は$~G_2~$の部分群となる。
任意の$~x,y\in G_1~$に対して、 \begin{equation*} \begin{split} (\varphi_1\circ\varphi_2)(xy)&=\varphi_1(\varphi_2(xy))\\ &=\varphi_1(\varphi_2(x)\varphi_2(y))\\ &=\varphi_1(\varphi_2(x))\varphi_1(\varphi_2(y))\\ &=(\varphi_1\circ\varphi_2)(x)(\varphi_1\circ\varphi_2)(y) \end{split} \end{equation*} となるので、$\varphi_1\circ\varphi_2~$は準同型写像である。
$S\subset G_1~$があり$~G_1=\langle S\rangle~$となり、${}^{\forall}x\in S,\varphi_1(x)=\varphi_2(x)~$が成り立てば、$\varphi_1=\varphi_2~$である。
ただし、各$~s_i~$は$~1~$または$~-1~$である。
このとき、 \begin{align} \varphi_1(x)&=\varphi_1(x_1)^{s_1}\cdots\varphi_1(x_n)^{s_n}\\ &=\varphi_2(x_1)^{s_1}\cdots\varphi_2(x_n)^{s_n}\\ &=\varphi_2(x) \end{align} となるので、$\varphi_1=\varphi_2~$である。
$(1)\Rightarrow(2)$
$\varphi~$は単射とする。
$\varphi(e_{G_1})=e_{G_2}~$より、$e_{G_1}\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$である。
$g\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi~$なら、$\varphi(g)=e_{G_2}=\varphi(e_{G_1})~$となる。
$\varphi~$は単射なので、$g=e_{G_1}~$である。
よって、$\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=\{e_{G_1}\}~$である。
$(1)\Leftarrow(2)$
$\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=\{e_{G_1}\}~$と仮定する。
$g,h\in G_1~$で$~\varphi(g)=\varphi(h)~$なら、$\varphi(gh^{-1})=\varphi(g)\varphi(h)^{-1}=e_{G_2}~$なので、$gh^{-1}\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=\{e_{G_1}\}~$である。
よって、$g=h~$となり$~\varphi~$は単射である。