群論　(1)群とは

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演算

　$\cdot~$が集合$~G~$上の(二項)演算であるとは、$\cdot~$が$~G\times G~$から$~G~$への写像であるときをいう。
また、$a,b,c\in G~$に対して、$\cdot~(a,b)=c~$であるとき、$a\cdot b=c~$と表記する。
文脈上誤解の恐れがない場合は$~a\cdot b~$を単に$~ab~$と省略して書くことがある。

群の公理

　空でない集合$~G~$と$~G~$上の演算$~\cdot~$に対して、条件 \begin{align} (\mathrm{G}1)&~{}^{\exists}e\in G~\mathrm{s.t.}~{}^{\forall}a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a\\ (\mathrm{G}2)&~{}^{\forall}a\in G,{}^{\exists}b\in G~\mathrm{s.t.}~a\cdot b=b\cdot a=e\\ (\mathrm{G}3)&~{}^{\forall}a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) \end{align} を満たしているとき、組$~(G,\cdot)~$は群であるという。

それぞれの性質を単位性、可逆性、結合性ということもある。
$(\mathrm{G}1)$における$~e~$を群$~G~$の単位元という。 群を明示したい場合は$~e_G~$と書く。
単位元は$~1~$と書くことがある。
$(\mathrm{G}2)$の$~a~$に対する$~b~$のことを$~a~$の逆元といい、$b=a^{-1}~$と表すことが多い。
場合によっては単位元を$~0$、逆元を$~-a~$とすることもある。
$(\mathrm{G}3)$の結合性により、演算の順序さえ入れ替えなければ、演算を行う順番は問題にならない。
なので、演算の行う順番を決めるための括弧は省略してもよい。
つまり、$(ab)c,a(bc)~$はどちらも$~abc~$と書いてよい。
結合性がないときはこれはできない。
以降、群の演算を括弧なしに書いてよいことは認める。
　群$~(G,\cdot)~$に対して、演算$~\cdot~$が文脈上明らかな場合や演算の記号を強調する必要がない場合には、単に群$~G~$と書く。
また、群$~(G,\cdot)~$に対して、集合$~G~$を$~(G,\cdot)~$の台集合という。

可換群

　群$~G~$が可換性を持つ、つまり \[ {}^{\forall}a,b\in G,ab=ba \] を満たすとき、群$~G~$は可換群であるという。
または、Abel群や加法群ともいう。
可換でない群は非可換群という。

群の位数

　群$~G~$に対して、台集合$~G~$の元の個数$~|G|~$を群$~G~$の位数という。
位数が有限な群を有限群といい、有限群でない群を無限群という。

余談

　集合$~M~$に演算が定義されているだけのとき(上の$(\mathrm{G}1)$-$(\mathrm{G}3)$を満たしていなくても)、$~M~$はマグマであるという。
結合性を持つ($(\mathrm{G}3)$を満たす)マグマを半群といい、単位性を持つ半群($(\mathrm{G}1),(\mathrm{G}3)$を満たすマグマ)をモノイドという。
可除性を持つマグマを準群といい、単位性を持つ準群を擬群(ループ)という。