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群論　(2)群の基本的な性質

命題1
$G~$が群で、$a,b,c\in G~$のとき、次が成り立つ。 \begin{align*} &(1)~ab=ac~\Longrightarrow~b=c\\ &(2)~ab=c~\Longrightarrow~b=a^{-1}c~,~a=cb^{-1} \end{align*}

$(1)~$ $ab=ac~$の両辺に$~a^{-1}~$をかけると、$b=a^{-1}ab=a^{-1}ac=c~$となる。

$(2)~$ $ab=c~$の両辺に$~a^{-1}~$を左からかけると、$b=a^{-1}c~$となる。
また、両辺に$~b^{-1}~$を右からかけると、$a=ca^{-1}~$となる。

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$(1)$の性質を簡約性という。

命題2
群$~G~$について、次が成り立つ。
\begin{equation*} \begin{split} (1)&~単位元は1つしかない\\ (2)&~任意の~a\in G~に対してその逆元は一意に定まる\\ (3)&~{}^{\forall}a,b\in G,(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\\ (4)&~{}^{\forall}a\in G,(a^{-1})^{-1}=a \end{split} \end{equation*}

$(1)~$ $e,e'\in G~$が単位元の性質を満たせば、$e=ee'=e'~$となり、単位元の一意性がわかる。

$(2)~$ $b,b'\in G~$が$~a~$の逆元なら、$b=(b'a)b=b'(ab)=b'$となる。

$(3)~$ 結合性により、$(b^{-1}a^{-1})ab=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}b=e~$となり、同様に$~ab(b^{-1}a^{-1})=a^{-1}(b^{-1}b)a=a^{-1}a=e~$である。
よって、$b^{-1}a^{-1}~$は$~ab~$の逆元である。

$(4)~$ $aa^{-1}=a^{-1}a=e~$を$~(a^{-1})^{-1}~$を定義する関係式と見ることができるので、$a=(a^{-1})^{-1}~$である。

$$\square$$

(1)群とは
(2)群の基本的な性質