群論 (3)部分群
$G~$を群、$H\subset G~$を部分集合とする。
$H~$が$~G~$の演算によって群になるとき、$H~$を$~G~$の部分群という。
命題3
群$~G~$の部分集合$~H~$が$~G~$の部分群になるための必要十分条件は、次の条件が満たされることである。
\begin{align}
(1)&~e_G\in H\\
(2)&~{}^{\forall}x,y\in H,xy\in H\\
(3)&~{}^{\forall}x\in H,x^{-1}\in H
\end{align}
$H~$が$~G~$の部分群であると仮定する。
$H~$の演算は$~G~$の演算と一致するので、$e_He_H=e_H~$が$~G~$の演算で成り立つ。
${e_H}^{-1}~$を両辺にかけて、$e_H=e_G~$となる。
よって、$e_G\in H~$となり、$(1)$が成り立つ。
$G~$の演算により$~H~$が群になるので、そもそも$~H~$に演算が定義される。
したがって、$x,y\in H~$に対し、$xy\in H$となるのは当たり前である。
$x\in H~$に対し、$H~$での逆元を$~y~$とする。
このとき、$G~$の演算により$~xy=yx=e_G~$となる。
これは$~y~$が$~x~$の$~G~$での逆元であることを意味する。
よって、$x^{-1}=y\in H~$となり、$(3)$を満たす。
逆に$(1)$-$(3)$が成り立っていると仮定する。
$(1)$より$~H~$は空集合でない。
$(2)$より群$~G~$の演算は$~H~$上の演算を定める。
$xe_G=e_Gx=x~$がすべての$~x\in G~$で成り立つので、特にすべての$~x\in H~$でも成り立つ。
よって、$e_G~$は$~H~$の単位元である。
$G~$が結合性を持つので、$H~$も結合性を持つのは当たり前である。
$x\in H~$なら、$~G~$の元としての$~x^{-1}~$は$(3)$より$~H~$の元であり、$xx^{-1}=x^{1}x=e_G=e_H~$なので、これは$~H~$においても$~x~$の逆元である。
よって、$H~$は$~G~$の演算により群になる。
$$\square$$
$H~$の演算は$~G~$の演算と一致するので、$e_He_H=e_H~$が$~G~$の演算で成り立つ。
${e_H}^{-1}~$を両辺にかけて、$e_H=e_G~$となる。
よって、$e_G\in H~$となり、$(1)$が成り立つ。
$G~$の演算により$~H~$が群になるので、そもそも$~H~$に演算が定義される。
したがって、$x,y\in H~$に対し、$xy\in H$となるのは当たり前である。
$x\in H~$に対し、$H~$での逆元を$~y~$とする。
このとき、$G~$の演算により$~xy=yx=e_G~$となる。
これは$~y~$が$~x~$の$~G~$での逆元であることを意味する。
よって、$x^{-1}=y\in H~$となり、$(3)$を満たす。
逆に$(1)$-$(3)$が成り立っていると仮定する。
$(1)$より$~H~$は空集合でない。
$(2)$より群$~G~$の演算は$~H~$上の演算を定める。
$xe_G=e_Gx=x~$がすべての$~x\in G~$で成り立つので、特にすべての$~x\in H~$でも成り立つ。
よって、$e_G~$は$~H~$の単位元である。
$G~$が結合性を持つので、$H~$も結合性を持つのは当たり前である。
$x\in H~$なら、$~G~$の元としての$~x^{-1}~$は$(3)$より$~H~$の元であり、$xx^{-1}=x^{1}x=e_G=e_H~$なので、これは$~H~$においても$~x~$の逆元である。
よって、$H~$は$~G~$の演算により群になる。
命題4
$H_1,H_2~$が群$~G~$の部分群なら、$H_1\cap H_2~$も$~G~$の部分群である。
$H_1,H_2~$は$~G~$の部分群なので、$e_G\in H_1,e_G\in H_2~$より$~e_G\in H_1\cap H_2~$
\begin{align*}
x,y\in H_1\cap H_2\Longrightarrow&~x,y\in H_1,x,y\in H_2\\
\Longrightarrow&~xy\in H_1,xy\in H_2\\
\Longrightarrow&~xy\in H_1\cap H_2
\end{align*}
\begin{align*}
x\in H_1\cap H_2\Longrightarrow&~x\in H_1,x\in H_2\\
\Longrightarrow&~x^{-1}\in H_1,x^{-1}\in H_2\\
\Longrightarrow&~x^{-1}\in H_1\cap H_2
\end{align*}
よって、$H_1\cap H_2~$は$~G~$の部分群である。
$$\square$$