実数論 (12)条件収束
級数$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$に対して、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_n|~$は収束しないが$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は収束するとき、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は条件収束するという。
補題25
実数列$~\{a_n\}~$に対して、
\begin{align}
&X=\{n\in\mathbb{N}\mid a_n\ge0\}\\
&Y=\{n\in\mathbb{N}\mid a_n\lt0\}
\end{align}
とおき、$f:\mathbb{N}\to X,g:\mathbb{N}\to Y~$を順序を保つ全単射とする。$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$が条件収束するとき、次が成り立つ。 \begin{align} &\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|=\infty\\ &\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}|=\infty \end{align}
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_n|~$の第$~n~$部分和を$~\tilde{S}_n~$とする。
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は条件収束するので、$\{\tilde{S}_n\}~$は収束しない。
また、$\{\tilde{S}_n\}~$は単調増加列なので$~\{\tilde{S}_n\}~$は$~\infty~$に発散する。
$N_n=\{0,\dots,n\}~$とすると $$ \tilde{S}_n=\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|+\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k| $$ とできる。 このとき、 \begin{align} &\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|=\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|\\ &\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k|=\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}| \end{align} であることは明らか。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\tilde{S}_n=\infty~$なので、
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$の第$~n~$部分和を$~S_n~$とする。
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は収束するので、$\{S_n\}~$は収束する。
\begin{split} S_n&=\sum_{k\in N_n\cap X}a_k+\sum_{k\in N_n\cap Y}a_k\\ &=\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|-\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k| \end{split} $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|~$と$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}|~$のどちらかが収束すると仮定すれば、もう一方は$~\infty~$に発散するので、 $$ \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|-\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k|\right) $$ は収束しない。
これは$~\{S_n\}~$が収束することに矛盾する。
よって、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|~$と$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}|~$はどちらも$~\infty~$に発散する。
$$\square$$
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は条件収束するので、$\{\tilde{S}_n\}~$は収束しない。
また、$\{\tilde{S}_n\}~$は単調増加列なので$~\{\tilde{S}_n\}~$は$~\infty~$に発散する。
$N_n=\{0,\dots,n\}~$とすると $$ \tilde{S}_n=\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|+\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k| $$ とできる。 このとき、 \begin{align} &\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|=\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|\\ &\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k|=\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}| \end{align} であることは明らか。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\tilde{S}_n=\infty~$なので、
\begin{split}
\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|+\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}|&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in N_n\cap
X}|a_k|+\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k|\\
&=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|+\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k|\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\tilde{S}_n\\
&=\infty
\end{split}
となる。
なので、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|~$と$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}|~$の少なくとも一方は$~\infty~$に発散する。$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$の第$~n~$部分和を$~S_n~$とする。
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は収束するので、$\{S_n\}~$は収束する。
\begin{split} S_n&=\sum_{k\in N_n\cap X}a_k+\sum_{k\in N_n\cap Y}a_k\\ &=\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|-\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k| \end{split} $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|~$と$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}|~$のどちらかが収束すると仮定すれば、もう一方は$~\infty~$に発散するので、 $$ \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k\in N_n\cap X}|a_k|-\sum_{k\in N_n\cap Y}|a_k|\right) $$ は収束しない。
これは$~\{S_n\}~$が収束することに矛盾する。
よって、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{f(n)}|~$と$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_{g(n)}|~$はどちらも$~\infty~$に発散する。
定理26(Riemannの級数定理)
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$が条件収束するとき、任意の実数$~\alpha~$に対して、次を満たす全単射$~\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}~$が存在する。 $$ \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}=\alpha $$
まず、$\alpha\ge0~$の場合を示す。
実数列$~\{a_n\}~$に対して、 \begin{align} &X=\{n\in\mathbb{N}\mid a_n\ge0\}\\ &Y=\{n\in\mathbb{N}\mid a_n\lt0\} \end{align} とおき、$f:\mathbb{N}\to X,g:\mathbb{N}\to Y~$を順序を保つ全単射とする。
補題25より、 \begin{align} &\sum_{n=0}^\infty a_{f(n)}=\infty\\ &\sum_{n=0}^\infty a_{g(n)}=-\infty \end{align} となる。 よって、ある$~n_0\in\mathbb{N}~$があり、 \[ n\ge n_0\Longrightarrow\sum_{k=0}^{n}a_{f(k)}\gt\alpha \] を満たす。 特に \[ \alpha\lt\sum_{k=0}^{n_0}a_{f(k)} \] を満たす。
また、ある$~n_0'\in\mathbb{N}~$があり \[ \sum_{k=0}^{n_0'-1}a_{g(k)}\ge\alpha-\sum_{k=0}^{n_0}a_{f(k)}\gt\sum_{k=0}^{n_0'}a_{g(k)} \] となる。
便宜上$~i\gt j~$となっているとき、総和$~\displaystyle\sum_{k=i}^j~$は何も足さず$~0~$を表すものとする。
さらに、$n_1,n_1'\in\mathbb{N}~$があり
このようにして$~n_m,n_m'~$までとれたとき、
これによって$~n_m,n_m'~(m\in\mathbb{N})~$を再帰的に定める。
このとき、任意の$~m\in\mathbb{N}~$に対して、
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は収束するので、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0~$である。
よって、$m\to\infty~$とするとき、$a_{f(n_m)},a_{g(n_m')}~$はともに$0$に収束する。
したがって、 $$ \left|\sum_{k=0}^\infty S_k-\alpha\right|=0 $$ となり、$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty S_k~$は$~\alpha~$に収束する。
\begin{split} S_0+&S_1+\cdots+S_{2m}+S_{2m+1}+\cdots\\ =&~a_{f(0)}+\cdots+a_{f(n_0)}\\ &~~~+a_{g(0)}+\cdots+a_{g(n_0')}+\cdots\\ &~\cdots+a_{f(n_{m-1}+1)}+\cdots+a_{f(n_m)}\\ &~~~~~~~~~~+a_{g(n_{m-1}'+1)}+\cdots+a_{g(n_m')}+\cdots \end{split} このような入れ替えを$~\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}~$とする。 つまり、 \begin{array}{rl} \sigma(0)&=~~f(0)\\ &~\vdots\\ \sigma(n_0)&=~~f(n_0)\\ \sigma(n_0+1)&=~~g(0)\\ &~\vdots\\ \sigma(n_0+n_0'+1)&=~~g(n_0')\\ &~\vdots\\ &~\vdots\\ \sigma(n_m+n_m'+2)&=~~f(n_m+1)\\ &~\vdots\\ \sigma(n_{m+1}+n_m'+1)&=~~f(n_{m+1})\\ \sigma(n_{m+1}+n_m'+2)&=~~g(n_m+1)\\ &~\vdots\\ \sigma(n_{m+1}+n_{m+1}'+1)&=~~g(n_{m+1})\\ &~\vdots\\ \end{array} となるように$~\sigma~$を定める。
このとき、 $$ \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}=\sum_{n=0}^\infty S_n=\alpha $$ となる。
$$\square$$
実数列$~\{a_n\}~$に対して、 \begin{align} &X=\{n\in\mathbb{N}\mid a_n\ge0\}\\ &Y=\{n\in\mathbb{N}\mid a_n\lt0\} \end{align} とおき、$f:\mathbb{N}\to X,g:\mathbb{N}\to Y~$を順序を保つ全単射とする。
補題25より、 \begin{align} &\sum_{n=0}^\infty a_{f(n)}=\infty\\ &\sum_{n=0}^\infty a_{g(n)}=-\infty \end{align} となる。 よって、ある$~n_0\in\mathbb{N}~$があり、 \[ n\ge n_0\Longrightarrow\sum_{k=0}^{n}a_{f(k)}\gt\alpha \] を満たす。 特に \[ \alpha\lt\sum_{k=0}^{n_0}a_{f(k)} \] を満たす。
また、ある$~n_0'\in\mathbb{N}~$があり \[ \sum_{k=0}^{n_0'-1}a_{g(k)}\ge\alpha-\sum_{k=0}^{n_0}a_{f(k)}\gt\sum_{k=0}^{n_0'}a_{g(k)} \] となる。
便宜上$~i\gt j~$となっているとき、総和$~\displaystyle\sum_{k=i}^j~$は何も足さず$~0~$を表すものとする。
さらに、$n_1,n_1'\in\mathbb{N}~$があり
\begin{align}
&\sum_{k=n_0+1}^{n_1-1}a_{f(k)}\le\alpha-\sum_{k=0}^{n_0}a_{f(k)}-\sum_{k=0}^{n_0'}a_{g(k)}\lt\sum_{k=n_0+1}^{n_1}a_{f(k)}\\
&\sum_{k=n_0'+1}^{n_1'-1}a_{g(k)}\ge\alpha-\sum_{k=0}^{n_1}a_{f(k)}-\sum_{k=0}^{n_0'}a_{g(k)}\gt\sum_{k=n_0'+1}^{n_1'}a_{g(k)}
\end{align}
を満たす。このようにして$~n_m,n_m'~$までとれたとき、
\begin{align}
&\sum_{k=n_m+1}^{n_{m+1}-1}a_{f(k)}\le\alpha-\sum_{k=0}^{n_m}a_{f(k)}-\sum_{k=0}^{n_m'}a_{g(k)}\lt\sum_{k=n_m+1}^{n_{m+1}}a_{f(k)}\\
&\sum_{k=n_m'+1}^{n_{m+1}'-1}a_{g(k)}\ge\alpha-\sum_{k=0}^{n_{m+1}}a_{f(k)}-\sum_{k=0}^{n_m'}a_{g(k)}\gt\sum_{k=n_m'+1}^{n_{m+1}'}a_{g(k)}
\end{align}
となるように、$n_{m+1},n_{m+1}'~$がとれる。これによって$~n_m,n_m'~(m\in\mathbb{N})~$を再帰的に定める。
このとき、任意の$~m\in\mathbb{N}~$に対して、
\begin{align}
&\left|\sum_{k=0}^{n_m}a_{f(k)}+\sum_{k=0}^{n_m'}a_{g(k)}+\sum_{k=n_m+1}^{n_{m+1}}a_{f(k)}-\alpha\right|\le|a_{f(n_{m+1})}|\\
&\left|\sum_{k=0}^{n_{m+1}}a_{f(k)}+\sum_{k=0}^{n_m'}a_{g(k)}+\sum_{k=n_m'+1}^{n_{m+1}'}a_{g(k)}-\alpha\right|\le|a_{g(n_{m+1}')}|
\end{align}
が成り立っている。
\begin{array}{c}
\displaystyle S_0=\sum_{k=0}^{n_0}a_{f(k)}\\
\displaystyle S_1=\sum_{k=0}^{n_0'}a_{g(k)}\\
\vdots\\
\displaystyle S_{2m}=\sum_{k=n_{m-1}+1}^{n_m}a_{f(k)}\\
\displaystyle S_{2m+1}=\sum_{k=n_{m-1}'+1}^{n_m'}a_{g(k)}\\
\vdots
\end{array}
とすると、上の不等式は
\begin{align}
&\left|\sum_{k=0}^{2m}S_k-\alpha\right|\le|a_{f(n_m)}|\\
&\left|\sum_{k=0}^{2m+1}S_k-\alpha\right|\le|a_{g(n_m')}|
\end{align}
と書きかえられる。$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は収束するので、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0~$である。
よって、$m\to\infty~$とするとき、$a_{f(n_m)},a_{g(n_m')}~$はともに$0$に収束する。
したがって、 $$ \left|\sum_{k=0}^\infty S_k-\alpha\right|=0 $$ となり、$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty S_k~$は$~\alpha~$に収束する。
\begin{split} S_0+&S_1+\cdots+S_{2m}+S_{2m+1}+\cdots\\ =&~a_{f(0)}+\cdots+a_{f(n_0)}\\ &~~~+a_{g(0)}+\cdots+a_{g(n_0')}+\cdots\\ &~\cdots+a_{f(n_{m-1}+1)}+\cdots+a_{f(n_m)}\\ &~~~~~~~~~~+a_{g(n_{m-1}'+1)}+\cdots+a_{g(n_m')}+\cdots \end{split} このような入れ替えを$~\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}~$とする。 つまり、 \begin{array}{rl} \sigma(0)&=~~f(0)\\ &~\vdots\\ \sigma(n_0)&=~~f(n_0)\\ \sigma(n_0+1)&=~~g(0)\\ &~\vdots\\ \sigma(n_0+n_0'+1)&=~~g(n_0')\\ &~\vdots\\ &~\vdots\\ \sigma(n_m+n_m'+2)&=~~f(n_m+1)\\ &~\vdots\\ \sigma(n_{m+1}+n_m'+1)&=~~f(n_{m+1})\\ \sigma(n_{m+1}+n_m'+2)&=~~g(n_m+1)\\ &~\vdots\\ \sigma(n_{m+1}+n_{m+1}'+1)&=~~g(n_{m+1})\\ &~\vdots\\ \end{array} となるように$~\sigma~$を定める。
このとき、 $$ \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}=\sum_{n=0}^\infty S_n=\alpha $$ となる。