実数論 (1)数列の収束
実数列$~\{a_n\}~$がある実数$~\alpha~$に対して、
またそのとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha~$や$~a_n\to\alpha~(n\to\infty)~$と書く。
$(1)~$
任意に$~\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$をとる。
仮定より、ある$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり、
\begin{align}
&n\ge N_1\Longrightarrow|a_n-\alpha|\lt\frac{\varepsilon}{2}\\
&n\ge N_2\Longrightarrow|b_n-\beta|\lt\frac{\varepsilon}{2}
\end{align}
が成り立つ。
ここで$~N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると、
$(2)~$
任意に$~\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$をとる。
仮定より、ある$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり、
\begin{align}
&n\ge N_1\Longrightarrow|a_n-\alpha|\lt\frac{\varepsilon}{2}\\
&n\ge N_2\Longrightarrow|b_n-\beta|\lt\frac{\varepsilon}{2}
\end{align}
が成り立つ。
ここで$~N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると、
$(3)~$
任意に$~\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$をとる。
＜$c=0~$のとき＞
任意の$~n\in\mathbb{N}~$について、$ca_n=0~$となる。
よって常に$~|ca_n-c\alpha|=|0-0|=0\lt\varepsilon~$となる。
したがって、$\{ca_n\}~$は$~c\alpha~$に収束する。
＜$c\neq0~$のとき＞
仮定より、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、
\[
n\ge N\Longrightarrow|a_n-\alpha|\lt\frac{\varepsilon}{|c|}
\]
が成り立つ。
このとき、
\begin{split}
n\ge N\Longrightarrow|ca_n-c\alpha|&=|c||a_n-\alpha|\\
&\lt |c|\cdot\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon
\end{split}
となるので、$\{ca_n\}~$は$~c\alpha~$に収束する。
$(4)~$
任意に$~\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$をとる。
仮定より、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、
\[
n\ge N\Longrightarrow|a_n-\alpha|\lt\varepsilon
\]
が成り立つ。
このとき、
\[
n\ge N\Longrightarrow||a_n|-|\alpha||\le|a_n-\alpha|\lt\varepsilon
\]
となるので、$\{|a_n|\}~$は$~|\alpha|~$に収束する。
任意の$~n\in\mathbb{N}~$で$~a_n\le b_n\le c_n~$となり、かつ$~\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha~$とする。
このとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha~$となる。
仮定より、$N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり、 \begin{align} n\ge N_1&\Longrightarrow|a_n-\alpha|\lt\varepsilon\\ &\Longleftrightarrow\alpha-\varepsilon\lt a_n\lt\alpha+\varepsilon \end{align} \begin{align} n\ge N_2&\Longrightarrow|c_n-\alpha|\lt\varepsilon\\ &\Longleftrightarrow\alpha-\varepsilon\lt c_n\lt\alpha+\varepsilon \end{align} を満たす。
このとき、$N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると、 \begin{split} n\ge N&\Longrightarrow\alpha-\varepsilon\lt a_n\le b_n\le c_n\lt\alpha+\varepsilon\\ &\Longleftrightarrow|b_n-\alpha|\lt\varepsilon \end{split} となり、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha~$である。
このとき、次が成り立つ。 \begin{align} (1)&~({}^{\forall}n\in\mathbb{N},a_n\gt0)\Longrightarrow\alpha\ge0\\ (2)&~({}^{\forall}n\in\mathbb{N},a_n\lt b_n)\Longrightarrow\alpha\le \beta \end{align}
$(1)~$
${}^{\forall}n\in\mathbb{N},a_n\gt0~$とする。
$\alpha\lt0~$と仮定して矛盾を導く。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha~$より、$-\cfrac{\alpha}{2}\gt0~$に対して、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、
$$
n\ge N\Longrightarrow a_n\lt\alpha-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}\lt0
$$
となる。
しかしこれは、${}^{\forall}n\in\mathbb{N},a_n\gt0~$に矛盾する。
$(2)~$
${}^{\forall}n\in\mathbb{N},a_n\lt b_n~$とする。
よって、${}^{\forall}n\in\mathbb{N},b_n-a_n\gt0~$である。
したがって、$(1)$より$~\beta-\alpha\ge0~$となり、$\alpha\le\beta~$である。