実数論 (11)絶対収束
級数$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$に対して、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_n|~$が収束するとき、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は絶対収束するという。
定理23
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$が絶対収束するなら、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は収束する。
任意に$~\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$をとる。
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_n|~$は収束するので、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、 $$ m\gt n\ge N\Longrightarrow\left|\sum_{k=n+1}^m|a_n|\right|=\sum_{k=n+1}^m|a_n|\lt\varepsilon $$ を満たす。
このとき、 $$ n\ge N\Longrightarrow\left|\sum_{k=n+1}^ma_n\right|\le\sum_{k=n+1}^m|a_n|\lt\varepsilon $$ となるので、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は収束する。
$$\square$$
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_n|~$は収束するので、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、 $$ m\gt n\ge N\Longrightarrow\left|\sum_{k=n+1}^m|a_n|\right|=\sum_{k=n+1}^m|a_n|\lt\varepsilon $$ を満たす。
このとき、 $$ n\ge N\Longrightarrow\left|\sum_{k=n+1}^ma_n\right|\le\sum_{k=n+1}^m|a_n|\lt\varepsilon $$ となるので、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$は収束する。
定理24
$\sigma~$を任意の$~\mathbb{N}~$から$~\mathbb{N}~$への全単射とする。このとき、級数$~\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$が絶対収束するなら、次の等式が成り立つ。 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} $$
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n~$を$~\alpha$、$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
a_{\sigma(n)}~$の第$~n~$部分和を$~S_n~$とする。
$\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$を任意にとる。
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_n|~$は収束するので、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、 $$ m\gt n\ge N\Longrightarrow\left|\sum_{k=n+1}^m|a_k|\right|=\sum_{k=n+1}^m|a_k|\lt\frac{\varepsilon}{2} $$ を満たす。
特に、$m\gt N~$なら$~\displaystyle\sum_{n=N+1}^m|a_n|\lt\frac{\varepsilon}{2}~$なので、$\displaystyle\sum_{n=N+1}^\infty|a_n|\lt\frac{\varepsilon}{2}~$となる。
またこのとき、 $$ \left|\sum_{n=0}^Na_n-\alpha\right|=\left|\sum_{n=N+1}^\infty a_n\right|\le\sum_{n=N+1}^\infty|a_n|\lt\frac{\varepsilon}{2} $$ となる。
ここで、$N'=\max{(\sigma^{-1}(\{0,\dots,N\}))}~$とする。
$n\gt N'~$なら$~\{1,\dots,N\}\subset\{\sigma(0),\dots,\sigma(n)\}~$である。
$X_n=\{0,\dots,n\}\setminus\sigma^{-1}(\{0,\dots,N\})~(n\gt N')~$とおく。
$$\square$$
$\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$を任意にとる。
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty|a_n|~$は収束するので、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、 $$ m\gt n\ge N\Longrightarrow\left|\sum_{k=n+1}^m|a_k|\right|=\sum_{k=n+1}^m|a_k|\lt\frac{\varepsilon}{2} $$ を満たす。
特に、$m\gt N~$なら$~\displaystyle\sum_{n=N+1}^m|a_n|\lt\frac{\varepsilon}{2}~$なので、$\displaystyle\sum_{n=N+1}^\infty|a_n|\lt\frac{\varepsilon}{2}~$となる。
またこのとき、 $$ \left|\sum_{n=0}^Na_n-\alpha\right|=\left|\sum_{n=N+1}^\infty a_n\right|\le\sum_{n=N+1}^\infty|a_n|\lt\frac{\varepsilon}{2} $$ となる。
ここで、$N'=\max{(\sigma^{-1}(\{0,\dots,N\}))}~$とする。
$n\gt N'~$なら$~\{1,\dots,N\}\subset\{\sigma(0),\dots,\sigma(n)\}~$である。
$X_n=\{0,\dots,n\}\setminus\sigma^{-1}(\{0,\dots,N\})~(n\gt N')~$とおく。
\begin{split}
n\gt N'\Longrightarrow|S_n-\alpha|&=\left|\sum_{k=0}^na_{\sigma(k)}-\alpha\right|\\
&\le\left|\sum_{k=0}^Na_k-\alpha\right|+\left|\sum_{k\in X_n}a_{\sigma(k)}\right|\\
&\le\left|\sum_{k=0}^Na_k-\alpha\right|+\sum_{k\in X_n}|a_{\sigma(k)}|\\
\end{split}
$k\in X_n~$なら$~\sigma(k)\gt N~$なので、
$$
\sum_{k\in X_n}|a_{\sigma(k)}|\le\sum_{n=N+1}^\infty|a_n|\lt\frac{\varepsilon}{2}
$$
とできる。
よって、
\begin{split}
n\gt N'\Longrightarrow|S_n-\alpha|&\le\left|\sum_{k=0}^Na_k-\alpha\right|+\sum_{k\in
X_n}|a_{\sigma(k)}|\\
&\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\end{split}
が成り立つ。
したがって、$\{S_n\}~$は$~\alpha~$に収束する。