実数論 (4)実数の連続性
空でない部分集合$~A\subset\mathbb{R}~$について、 $$ {}^{\exists}M\in\mathbb{R}~\mathrm{s.t.}~{}^{\forall}a\in A,a\le M $$ を満たすとき、$A~$は上に有界であるという。
$$ {}^{\exists}L\in\mathbb{R}~\mathrm{s.t.}~{}^{\forall}a\in A,a\ge L $$ を満たすとき、$A~$は下に有界であるという。
また、$A~$が上に有界かつ下に有界であるとき、$A~$は有界であるという。
空でない部分集合$~A\subset\mathbb{R}~$について、元$~\alpha\in\mathbb{R}~$が \begin{align} (1)&~{}^{\forall}x\in A,x\le\alpha\\ (2)&~{}^{\forall}y\in\mathbb{R},(y\lt\alpha\Longrightarrow{}^{\exists}x\in A~\mathrm{s.t.}~y\lt x) \end{align} となるとき、$\alpha~$は$~A~$の最小上界または上限といい、$\alpha=\sup{A}~$と書く。 \begin{align} (1)'&~{}^{\forall}x\in A,x\ge\alpha\\ (2)'&~{}^{\forall}y\in\mathbb{R},(y\gt\alpha\Longrightarrow{}^{\exists}x\in A~\mathrm{s.t.}~y\gt x) \end{align} となるとき、$\alpha~$は$~A~$の最大下界または下限といい、$\alpha=\inf{A}~$と書く。
定理8
$A\subset\mathbb{R}~$に対して、$\max{A}~$が存在するなら$~\sup{A}=\max{A}~$である。また、$\min{A}~$が存在するなら$~\inf{A}=\min{A}~$である。
$m=\max{A}~$とする。
$y\in\mathbb{R}~$をとり、$y\lt m~$とする。
$x=m~$は$~m\in A~$であり、$y\lt m~$を満たしている。
よって、$\sup{A}=\max{A}~$である。
同様に$~\inf{A}=\min{A}~$も導かれる。
$$\square$$
$y\in\mathbb{R}~$をとり、$y\lt m~$とする。
$x=m~$は$~m\in A~$であり、$y\lt m~$を満たしている。
よって、$\sup{A}=\max{A}~$である。
同様に$~\inf{A}=\min{A}~$も導かれる。
命題9
$A~$を空でなく上に有界な$~\mathbb{R}~$の部分集合とする。
このとき、
$$
\lim_{n\to\infty}a_n=\sup{A}
$$
となる$~A~$の元の列$~\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}~$が存在する。
$\alpha=\sup{A}~$とする。
上限の定義より、すべての$~n\in\mathbb{N}~$について、
$$
\alpha-\frac{1}{n+1}\lt a_n\lt\alpha
$$
となる$~a_n\in A~$がとれる。
このとき、 $$ \lim_{n\to\infty}\left(\alpha-\frac{1}{n+1}\right)=\alpha $$ なので、はさみうちの原理より$~\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha~$である。
$$\square$$
このとき、 $$ \lim_{n\to\infty}\left(\alpha-\frac{1}{n+1}\right)=\alpha $$ なので、はさみうちの原理より$~\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha~$である。
定理10
$A\subset\mathbb{R},A\neq\emptyset~$とする。このとき、$A~$が上に有界なら上限$~\sup{A}~$が$~\mathbb{R}~$に存在する。
今$~A\neq\emptyset~$なので任意に$~r_0\in A~$をとる。
また$~A~$は上に有界なので、すべての$~x\in A~$について$~x\le s_0~$となる$~s_0\in\mathbb{R}~$がある。
もし、$r_0=s_0~$ならば$~s_0\in A~$なので、$s_0=\max{A}~$となる。
つまり、定理8より$~s_0=\sup{A}~$となり題意を満たす。
以降$~r_0\lt s_0~$とする。
ここで、閉区間$~I_n=[r_n,s_n]~(n\in\mathbb{N})~$を以下のように再帰的に定義する。
任意に$~y\in\mathbb{R}~$をとり、$y\lt s~$とする。
$r_n\to s~(n\to\infty)~$より、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、 \begin{split} n\ge N&\Longrightarrow|r_n-s|\lt s-y\\ &\Longrightarrow y\lt r_n \end{split} を満たす。 特に$~y\lt r_N~$である。
このとき、$(4)$より$~A\cap I_N\neq\emptyset~$なので、元$~a\in A~$で$~r_N\le a\le s_N~$となるものがとれる。
よって、$y\lt r_N\le a~$となる$~a\in A~$がとれる。
したがって、$s~$は$~A~$の上限である。
$$\square$$
また$~A~$は上に有界なので、すべての$~x\in A~$について$~x\le s_0~$となる$~s_0\in\mathbb{R}~$がある。
もし、$r_0=s_0~$ならば$~s_0\in A~$なので、$s_0=\max{A}~$となる。
つまり、定理8より$~s_0=\sup{A}~$となり題意を満たす。
以降$~r_0\lt s_0~$とする。
ここで、閉区間$~I_n=[r_n,s_n]~(n\in\mathbb{N})~$を以下のように再帰的に定義する。
\begin{align}
&I_0=[r_0,s_0]\\
&I_{n+1}=\left\{
\begin{array}{ll}
\left[r_n,\cfrac{r_n+s_n}{2}\right] &
\left(A\cap\left[\cfrac{r_n+s_n}{2},s_n\right]=\emptyset\right)\\
\left[\cfrac{r_n+s_n}{2},s_n\right] &
\left(A\cap\left[\cfrac{r_n+s_n}{2},s_n\right]\neq\emptyset\right)
\end{array}
\right.
\end{align}
この定義より、明らかに次が成り立つ。
\begin{align}
(1)&~{}^{\forall}n\in\mathbb{N},r_n\le r_{n+1}\le s_{n+1}\le s_n\\
(2)&~r_n-s_n=\frac{r_0-s_0}{2^n}\longrightarrow0~(n\longrightarrow\emptyset)\\
(3)&~{}^{\forall}n\in\mathbb{N},{}^{\forall}x\in A,x\le s_n\\
(4)&~{}^{\forall}n\in\mathbb{N},A\cap I_n\neq\emptyset
\end{align}
$(1),(2)$と区間縮小法の原理より、ある$~s\in\mathbb{R}~$があり、
\begin{align}
&r_n,s_n\longrightarrow s~(n\longrightarrow\infty)\\
&{}^{\forall}n\in\mathbb{N},r_n\le s\le s_n
\end{align}
を満たす。
よって、$(3)$と定理3より、
$$
{}^{\forall}x\in A,x\le s
$$
が成り立つ。任意に$~y\in\mathbb{R}~$をとり、$y\lt s~$とする。
$r_n\to s~(n\to\infty)~$より、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、 \begin{split} n\ge N&\Longrightarrow|r_n-s|\lt s-y\\ &\Longrightarrow y\lt r_n \end{split} を満たす。 特に$~y\lt r_N~$である。
このとき、$(4)$より$~A\cap I_N\neq\emptyset~$なので、元$~a\in A~$で$~r_N\le a\le s_N~$となるものがとれる。
よって、$y\lt r_N\le a~$となる$~a\in A~$がとれる。
したがって、$s~$は$~A~$の上限である。