実数論 (3)数列の発散
実数列$~\{a_n\}~$について、 $$ {}^{\forall}R\in\mathbb{R},{}^{\exists}N\in\mathbb{N}~\mathrm{s.t.}~{}^{\forall}n\in\mathbb{N},n\ge N\Longrightarrow a_n\gt R $$ となるとき、$\{a_n\}~$は$~\infty~$に発散するといい、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty~$と書く。 $$ {}^{\forall}R\in\mathbb{R},{}^{\exists}N\in\mathbb{N}~\mathrm{s.t.}~{}^{\forall}n\in\mathbb{N},n\ge N\Longrightarrow a_n\lt R $$ となるとき、$\{a_n\}~$は$~-\infty~$に発散するといい、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty~$と書く。
このとき、次が成り立つ。 \begin{align} (1)&~\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty\\ (2)&~\alpha\gt0~なら~\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty\\ (3)&~\alpha\lt0~なら~\lim_{n\to\infty}a_nb_n=-\infty \end{align}
$(1)~$
任意に$~R\in\mathbb{R}~$をとる。
仮定より、ある$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり、
\begin{align}
&n\ge N_1\Longrightarrow |a_n-\alpha|\lt1\\
&n\ge N_2\Longrightarrow b_n\gt R-\alpha+1
\end{align}
を満たす。
このとき、$N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると、
\begin{split}
n\ge N\Longrightarrow a_n+b_n&\ge(\alpha-1)+(R-\alpha+1)\\
&=R
\end{split}
となるので、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty~$である。
$(2)~$
任意に$~R\in\mathbb{R}_{\gt}~$をとる。
仮定より、ある$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり、
\begin{align}
&n\ge N_1\Longrightarrow 0\lt\frac{\alpha}{2}\lt a_n\\
&n\ge N_2\Longrightarrow b_n\gt\frac{2R}{\alpha}\gt0
\end{align}
を満たす。
このとき、$N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると、
$$
n\ge N\Longrightarrow a_nb_n\gt\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{2R}{\alpha}=R
$$
となるので、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\infty~$である。
$(3)~$
任意に$~R\in\mathbb{R}_{\lt}~$をとる。
仮定より、ある$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり、
\begin{align}
&n\ge N_1\Longrightarrow a_n\lt\frac{\alpha}{2}\lt0\\
&n\ge N_2\Longrightarrow b_n\gt\frac{2R}{\alpha}\gt0
\end{align}
を満たす。
このとき、$N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると、
$$
n\ge N\Longrightarrow a_nb_n\lt a_n\cdot\frac{2R}{\alpha}\lt\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{2R}{\alpha}=R
$$
となるので、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=-\infty~$である。