実数論　(7)上極限と下極限

任意の$~n\in\mathbb{N}~$について、 $$ \{a_k\mid k\ge n\}\supset\{a_k\mid k\ge n+1\} $$ となるので、すべての$~n\in\mathbb{N}~$について、 $$ \sup{\{a_k\mid k\ge n\}}\ge\sup{\{a_k\mid k\ge n+1\}} $$ が成り立つ。
つまり、$\sup{\{a_k\mid k\ge n\}}~$は$~n~$について単調減少である。
さらに、仮定より有界でもある。
有界な単調減少列は収束するので、$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n~$は存在する。
$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n~$の存在も同様に示せる。

$(1)\Rightarrow(2)$
$s_n=\sup{\{a_k\mid k\ge n\}}~$とする。
$\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$を任意にとる。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha~$より、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、 $$ n\ge N\Longrightarrow|a_n-\alpha|\lt\varepsilon $$ となる。 定め方から明らかに $$ n\ge N\Longrightarrow|s_n-\alpha|\lt\varepsilon $$ が成り立つ。
よって、$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}s_n=\alpha~$となる。
同様にして、$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n=\alpha~$も示される。

$(2)\Rightarrow(1)$
$s_n=\sup{\{a_k\mid k\ge n\}},i_n=\inf{\{a_k\mid k\ge n\}}~$とする。
明らかにすべての$~n\in\mathbb{N}~$で$~i_n\le a_n\le s_n~$となっている。
また、仮定から$~\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}i_n=\alpha~$である。
よって、はさみうちの原理より$~\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha~$となる。