環上の加群　(11)ねじれ

$0\in M_{\mathrm{tor}}~$は明らかである。
$x,y\in M_{\mathrm{tor}}~$を任意にとる。
このとき、$a,b\in A\setminus\{0\}~$があり、$ax=by=0~$となる。
\begin{align} ab(x+y) &= (ab)x+(ab)y\\ &= b(ax)+a(by)\\ &= 0+0 =0 \end{align} となるので$~x+y\in M_{\mathrm{tor}}~$である。
また、$a(-x)=-(ax)=0~$より$~-x\in M_{\mathrm{tor}}~$となる。

さらに、$a'\in A~$を任意にとれば \[ a(a'x)=a'(ax)=a'0=0 \] となるので、$a'x\in M_{\mathrm{tor}}~$となる。
したがって、$M_{\mathrm{tor}}~$は$~M~$の部分$A$加群である。

$X\in M/M_{\mathrm{tor}}~$をとり、$X~$はねじれ元であるとする。
このとき、$a\in A\setminus\{0\}~$があり$~aX=0~(=M_\mathrm{tor})~$となる。
$X\in M/M_{\mathrm{tor}}~$より$~X=x+M_{\mathrm{tor}}~$となる$~x\in M~$がある。
\[ ax+M_{\mathrm{tor}} = a(x+M_{\mathrm{tor}}) = M_{\mathrm{tor}} \] となるので、$ax\in M_{\mathrm{tor}}~$である。
よって、$b(ax)=0~$となるような$~b\in A\setminus\{0\}~$がある。
$A~$は整域であり、$a,b\neq0~$なので$~ba\neq0~$である。
$(ba)x=0~$なので$~x\in M_{\mathrm{tor}}~$となる。
したがって、$X=x+M_{\mathrm{tor}}=M_{\mathrm{tor}}~$である。

$x\in M~$を$~M~$のねじれ元とする。
このとき、$ax=0~$となる$~a\in A\setminus\{0\}~$が存在する。
また、$M~$の基底$~S~$があり、$a_1,\dots,a_n\in A,s_1,\dots,s_n\in S~$を用いて \[ x = a_1s_1+\cdots+a_ns_n \] と表せる。
\[ (aa_1)s_1+\cdots+(aa_n)s_n = ax = 0 \] となるので、$aa_1=\cdots=aa_n=0~$である。
$a\neq0~$なので$~a_1=\cdots=a_n=0~$となる。
したがって、$x=0~$である。
よって、$M_{\mathrm{tor}}=\{0\}~$となる。