環上の加群 (1)環上の加群
$A~$を環とし、$M~$を可換群(演算を$+$、単位元を$0$で表す)とする。
写像$~\varphi:A\times M\to M~$が定められていて \begin{align} (1)&~{}^{\forall}x\in M,\varphi(1,x)=x\\ (2)&~{}^{\forall}a,b\in A,{}^{\forall}x\in M,\varphi(ab,x)=\varphi(a,\varphi(b,x))\\ (3)&~{}^{\forall}a,b\in A,{}^{\forall}x\in M,\varphi(a+b,x)=\varphi(a,x)+\varphi(b,x)\\ (4)&~{}^{\forall}a\in A,{}^{\forall}x,y\in M,\varphi(a,x+y)=\varphi(a,x)+\varphi(a,y) \end{align} が成り立っているとき、$M~$は環$A$上の左加群または左$A$加群であるという。
また、条件$(2)$の代わりに \[ (2)'~{}^{\forall}a,b\in A,{}^{\forall}x\in M,\varphi(ab,x)=\varphi(b,\varphi(a,x)) \] が成り立っている場合は、環$A$上の右加群または右$A$加群という。
特に、$A~$が可換環であるときは、左と右の区別が必要なくなるので単に環$A$上の加群や$A$加群という。
また、この写像$~\varphi~$を$~A~$から$~M~$への作用ともいう。
左$A$加群$~M~$に対して$~\varphi(a,x)~$は単に$~ax~$と書く(作用であることを意識させたいときは$~a\bullet x~$などと書く)。
右$A$加群の場合は$~xa~$や$~x^a~$などと書く。
$A~$が斜体であるときは、左$A$加群や右$A$加群は左$A$ベクトル空間や右$A$ベクトル空間と呼ばれる。
体であるなら単に$A$ベクトル空間という。
以降、環上の左加群についての解説をしていくが、右加群の場合でも(定義等を右加群に合わせることで)全く同様のことが言える。
$(1)~$ 任意の$~x\in M~$に対して \begin{align} 0\bullet x &= 0\bullet x+0\\ &= 0\bullet x+(0\bullet x-(0\bullet x))\\ &= (0\bullet x+0\bullet x)-(0\bullet x)\\ &= (0+0)\bullet x-(0\bullet x)\\ &= 0\bullet x-(0\bullet x)\\ &= 0 \end{align}
$(2)~$ 任意の$~a\in A~$に対して \begin{align} a\bullet0 &= a\bullet0+0\\ &= a\bullet0+(a\bullet0-(a\bullet0))\\ &= (a\bullet0+a\bullet0)-(a\bullet0)\\ &= a\bullet(0+0)-(a\bullet0)\\ &= a\bullet0-(a\bullet0)\\ &= 0 \end{align}
$(3)~$ 任意の$~a\in A,x\in M~$に対して \[ ax+(-a)x = (a-a)x = 0x = 0 \] \[ ax+a(-x) = a(x-x) = a0 = 0 \] となるので、$-(ax)=(-a)x=a(-x)~$である。