体論 (9)重根
$K~$を体、$f(X)\in K[X],\alpha\in\overline{K}~$とする。
$f(X)~$が$~(X-\alpha)^2~$で割り切れるとき、つまり \[ f(X) = g(X)(X-\alpha)^2 \] となる$~g(X)\in\overline{K}[X]~$が存在するとき、$\alpha~$は$~f(X)~$の重根であるという。
$K~$を体、$f(X)\in K[X]~$とする。
$f(X)=a_0+\cdots+a_nX^n~$と表されているとき \[ \frac{df}{dX}(X) = \frac{d}{dX}f(X) = a_1+2a_2X+\cdots+na_nX^{n-1} \] と定め、これを$~f(X)~$の形式微分または導多項式という。
ここで、整数$~2,\dots,n~$を$~K~$の元のように扱っているが、これは整数.系28による自然な環準同型$~\mathbb{Z}\to K~$によって整数を$~K~$の元とみなしている。
つまり、自然な環準同型を$~\phi:\mathbb{Z}\to K~$と明示すれば \[ \frac{df}{dX}(X) = a_1+\phi(2)a_2X+\cdots+\phi(n)a_nX^{n-1} \] と表すことができる。
以降、簡単のために$~f(X)~$の微分は単に$~f'(X)~$や$~(f(X))'~$と表すことにする。
補題43
$K~$を体、$f(X),g(X)\in K[X],a\in K,n\in\mathbb{N}~$とする。このとき、次が成り立つ。 \begin{align} (1)&~ (f(X)+g(X))' = f'(X)+g'(X)\\ (2)&~ (af(X))' = af'(X)\\ (3)&~ (X^{n+1}f(X))' = (n+1)X^nf(X)+X^{n+1}f'(X) \end{align}
$f(X)~$が有限個を除いて$~0~$であるような$~a_i\in K~(i\in\mathbb{N})~$を用いて
\[
f(X) = \sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^i
\]
と書かれているとする。
同様に$~\displaystyle g(X)=\sum_{i\in\mathbb{N}}b_iX^i~$とする。
このとき、 \begin{align} (f(X)+g(X))' &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}(a_i+b_i)X^i\right)'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)(a_{i+1}+b_{i+1})X^i\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^i+\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)b_{i+1}X^i\\ &= f'(X)+g'(X) \end{align} \begin{align} (af(X))' &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}aa_iX^i\right)'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)aa_{i+1}X^i\\ &= a\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^i\\ &= af'(X) \end{align} となる。
$(3)$は$~n~$に関する数学的帰納法で示す。
\begin{align} (Xf(X))' &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^{i+1}\right)'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_iX^i\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^i + \sum_{i\in\mathbb{N}}ia_iX^i\\ &= f(X)+0+\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^{i+1}\\ &= f(X)+X\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^i\\ &= f(X)+Xf'(X) \end{align} となるので、$n=0~$のときは成り立つ。
$n\in\mathbb{N}~$を任意にとり \[ (X^{n+1}f(X))' = (n+1)X^nf(X)+X^{n+1}f'(X) \] を仮定する。
このとき、 \begin{align} (X^{n+2}f(X))' &= (X(X^{n+1}f(X)))'\\ &= X^{n+1}f(X) + X(X^{n+1}f(X))'\\ &= X^{n+1}f(X) + X((n+1)X^nf(X)+X^{n+1}f'(X))\\ &= X^{n+1}f(X) + (n+1)X^{n+1}f(X) + X^{n+2}f'(X)\\ &= (n+2)X^{n+1}f(X) + X^{n+2}f'(X) \end{align} となる。 $$\square$$
同様に$~\displaystyle g(X)=\sum_{i\in\mathbb{N}}b_iX^i~$とする。
このとき、 \begin{align} (f(X)+g(X))' &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}(a_i+b_i)X^i\right)'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)(a_{i+1}+b_{i+1})X^i\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^i+\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)b_{i+1}X^i\\ &= f'(X)+g'(X) \end{align} \begin{align} (af(X))' &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}aa_iX^i\right)'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)aa_{i+1}X^i\\ &= a\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^i\\ &= af'(X) \end{align} となる。
$(3)$は$~n~$に関する数学的帰納法で示す。
\begin{align} (Xf(X))' &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^{i+1}\right)'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_iX^i\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^i + \sum_{i\in\mathbb{N}}ia_iX^i\\ &= f(X)+0+\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^{i+1}\\ &= f(X)+X\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^i\\ &= f(X)+Xf'(X) \end{align} となるので、$n=0~$のときは成り立つ。
$n\in\mathbb{N}~$を任意にとり \[ (X^{n+1}f(X))' = (n+1)X^nf(X)+X^{n+1}f'(X) \] を仮定する。
このとき、 \begin{align} (X^{n+2}f(X))' &= (X(X^{n+1}f(X)))'\\ &= X^{n+1}f(X) + X(X^{n+1}f(X))'\\ &= X^{n+1}f(X) + X((n+1)X^nf(X)+X^{n+1}f'(X))\\ &= X^{n+1}f(X) + (n+1)X^{n+1}f(X) + X^{n+2}f'(X)\\ &= (n+2)X^{n+1}f(X) + X^{n+2}f'(X) \end{align} となる。 $$\square$$
補題44
$K~$を体、$f(X),g(X)\in K[X]~$とする。このとき、$(f(X)g(X))'=f'(X)g(X)+f(X)g'(X)~$となる。
$f(X)~$が有限個を除いて$~0~$であるような$~a_i\in K~(i\in\mathbb{N})~$を用いて
\[
f(X) = \sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^i
\]
と書かれているとする。
このとき、 \begin{align} (f(X)g(X))' &= \left(\left(\sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^i\right)g(X)\right)'\\ &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}(a_iX^ig(X))\right)'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(a_iX^ig(X))'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}a_i(X^ig(X))'\\ &= a_0(1g(X))'+\sum_{i\in\mathbb{N}}a_{i+1}(X^{i+1}g(X))'\\ &= a_0g'(X)+\sum_{i\in\mathbb{N}}a_{i+1}((i+1)X^ig(X)+X^{i+1}g'(X))\\ &= a_0g'(X)+\sum_{i\in\mathbb{N}}((i+1)a_{i+1}X^ig(X)+a_{i+1}X^{i+1}g'(X))\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}((i+1)a_{i+1}X^ig(X))+a_0g'(X)+\sum_{i\in\mathbb{N}}(a_{i+1}X^{i+1}g'(X))\\ &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^i\right)g(X)+\left(\sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^i\right)g'(X)\\ &= f'(X)g(X)+f(X)g'(X) \end{align} となる。 $$\square$$
このとき、 \begin{align} (f(X)g(X))' &= \left(\left(\sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^i\right)g(X)\right)'\\ &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}(a_iX^ig(X))\right)'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}(a_iX^ig(X))'\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}a_i(X^ig(X))'\\ &= a_0(1g(X))'+\sum_{i\in\mathbb{N}}a_{i+1}(X^{i+1}g(X))'\\ &= a_0g'(X)+\sum_{i\in\mathbb{N}}a_{i+1}((i+1)X^ig(X)+X^{i+1}g'(X))\\ &= a_0g'(X)+\sum_{i\in\mathbb{N}}((i+1)a_{i+1}X^ig(X)+a_{i+1}X^{i+1}g'(X))\\ &= \sum_{i\in\mathbb{N}}((i+1)a_{i+1}X^ig(X))+a_0g'(X)+\sum_{i\in\mathbb{N}}(a_{i+1}X^{i+1}g'(X))\\ &= \left(\sum_{i\in\mathbb{N}}(i+1)a_{i+1}X^i\right)g(X)+\left(\sum_{i\in\mathbb{N}}a_iX^i\right)g'(X)\\ &= f'(X)g(X)+f(X)g'(X) \end{align} となる。 $$\square$$
命題45
$K~$を体、$f(X)\in K[X]~$、$\alpha\in\overline{K}~$を$~f(X)~$の根とする。このとき、$\alpha~$が$~f(X)~$の重根であることと、$f'(\alpha)=0~$となることは同値である。
$\alpha~$が$~f(X)~$の重根であるとすれば、
\[
f(X) = g(X)(X-\alpha)^2
\]
となる$~g(X)\in\overline{K}[X]~$がとれる。
このとき、 \[ f'(X) = g'(X)(X-\alpha)^2+2g(X)(X-\alpha) \] となるので、$f'(\alpha)=0~$となる。
$\alpha~$が$~f(X)~$の重根でないとする。
$f(\alpha)=0~$なので$~f(X)=g(X)(X-\alpha)~$となる$~g(X)\in\overline{K}[X]~$がある。
$g(\alpha)=0~$とすれば$~g(X)=h(X)(X-\alpha)~$となる$~h(X)\in\overline{K}[X]~$がとれ、$f(X)=h(X)(X-\alpha)^2~$となるので仮定に矛盾する。
よって、$g(\alpha)\neq0~$となる。
このとき、 \[ f'(X) = g'(X)(X-\alpha)+g(X) \] となるので、$f'(\alpha)=g(\alpha)\neq0~$である。 $$\square$$
このとき、 \[ f'(X) = g'(X)(X-\alpha)^2+2g(X)(X-\alpha) \] となるので、$f'(\alpha)=0~$となる。
$\alpha~$が$~f(X)~$の重根でないとする。
$f(\alpha)=0~$なので$~f(X)=g(X)(X-\alpha)~$となる$~g(X)\in\overline{K}[X]~$がある。
$g(\alpha)=0~$とすれば$~g(X)=h(X)(X-\alpha)~$となる$~h(X)\in\overline{K}[X]~$がとれ、$f(X)=h(X)(X-\alpha)^2~$となるので仮定に矛盾する。
よって、$g(\alpha)\neq0~$となる。
このとき、 \[ f'(X) = g'(X)(X-\alpha)+g(X) \] となるので、$f'(\alpha)=g(\alpha)\neq0~$である。 $$\square$$