体論 (6)自己同型群
$L/K~$を体の拡大とする。
包含写像$~K\to L~$によって$~L~$は$~K$代数となる。
このとき、$L~$の$~K$自己同型群$~\mathop{\mathrm{Aut}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits L~$を$~\mathrm{Aut}(L/K)~$と書き、$L/K~$の自己同型群という。
これは明らかに$~L~$の(環の)自己同型群$~\mathop{\mathrm{Aut}^{\mathrm{al}}}\nolimits L~$の部分群である。
$L/K,L'/K'~$を体の拡大とする。
体の準同型$~f:K\to K',g:L\to L'~$に対して \[ {}^{\forall}a\in K,f(a)=g(a) \] が成り立つ($g~$の$~K~$への制限が$~f~$となる)とき、$g~$は$~f~$の($L~$への)拡張、$f~$は$~g~$の($K~$への)制限であるという。
命題22
$L/K,L'/K~$を体の拡大とする。このとき、$K$準同型$~L\to L'~$は恒等写像$~K\to K~$の拡張である。
逆に、体準同型$~L\to L'~$で恒等写像の拡張であるものは$~K$準同型である。
$\varphi:L\to L'~$を$~K$準同型とする。
任意の$~a\in K~$に対して \[ \varphi(a) = \varphi(a1) = a\varphi(1) = a1 = a \] となるので、$\varphi~$は恒等写像$~K\to K~$の拡張である。
$\varphi:L\to L'~$を体準同型で恒等写像の拡張であるものとする。
このとき、任意の$~a\in K,x\in L~$に対して \[ \varphi(ax) = \varphi(a)\varphi(x) = a\varphi(x) \] となるので、$\varphi~$は$~K$準同型である。
$$\square$$
任意の$~a\in K~$に対して \[ \varphi(a) = \varphi(a1) = a\varphi(1) = a1 = a \] となるので、$\varphi~$は恒等写像$~K\to K~$の拡張である。
$\varphi:L\to L'~$を体準同型で恒等写像の拡張であるものとする。
このとき、任意の$~a\in K,x\in L~$に対して \[ \varphi(ax) = \varphi(a)\varphi(x) = a\varphi(x) \] となるので、$\varphi~$は$~K$準同型である。
明らかに、$\mathrm{Aut}(L/K)~$は$~\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,L)~$の部分群である。
補題23
$K,K'~$を体、$\varphi:K\to K'~$を体準同型とする。このとき、$\hat{\varphi}:K[X]\to K'[X]~$を \[ \hat{\varphi}(a_0+\cdots+a_nX^n) = \varphi(a_0)+\cdots+\varphi(a_n)X^n ~~~~~(a_0,\dots,a_n\in K) \] となるように定めれば、$\hat{\varphi}~$は環準同型となる。
また、$\varphi:K\to K'~$と包含写像$~K'\to K'[X]~$によって$~K'[X]~$を$~K$代数とみれば、$\hat{\varphi}~$は$~K$準同型である。
$f(X),g(X)\in K[X],a\in K~$を任意にとり
\begin{align}
f(X) &= a_0+\cdots+a_mX^m &(a_0,\dots,a_m\in K)\\
g(X) &= b_0+\cdots+b_nX^n &(b_0,\dots,b_n\in K)
\end{align}
と表されているとする。
このとき、
\[
\hat{\varphi}(1) = \varphi(1) = 1
\]
\begin{align}
\hat{\varphi}(f(X)+g(X)) &= \varphi(a_0+b_0)+\cdots+\varphi(a_N+b_N)X^N\\
&= (\varphi(a_0)+\varphi(b_0))+\cdots+(\varphi(a_N)+\varphi(b_N))X^N\\
&= \hat{\varphi}(f(X))+\hat{\varphi}(g(X))
\end{align}
\begin{align}
\hat{\varphi}(f(X)g(X)) &= \sum_{i=0}^{m+n}\varphi\left(\sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j}\right)X^i\\
&= \sum_{i=0}^{m+n}\sum_{j=0}^{i}\varphi(a_j)\varphi(b_{i-j})X^i\\
&= \hat{\varphi}(f(X))\hat{\varphi}(g(X))
\end{align}
\begin{align}
\hat{\varphi}(af(X)) &= \varphi(aa_0)+\cdots+\varphi(aa_n)X^n\\
&= \varphi(a)\hat{\varphi}(f(X))\\
&= a\hat{\varphi}(f(X))
\end{align}
となるので、$\hat{\varphi}~$は$~K$準同型である。
$$\square$$
補題24
$L/K,L'/K'~$を体の拡大、$\varphi:K\to K'~$を体準同型とする。$\alpha\in L~$を$~f(X)\in K[X]~$の根とする。
このとき、$\varphi~$の$~K(\alpha)~$への任意の拡張$~\psi~$に対して、$\psi(\alpha)~$は$~\hat{\varphi}(f(X))~$の根である。
$a_0,\dots,a_n\in K~$を用いて
\[
f(X) = a_0+\cdots+a_nX^n
\]
と表されているとする。
また、$\hat{\varphi}(f(X))=\hat{f}(X)~$とおく。
このとき、 \begin{align} \hat{f}(\psi(\alpha)) &= \varphi(a_0)+\cdots+\varphi(a_n){\psi(\alpha)}^n\\ &= \psi(a_0)+\cdots+\psi(a_n){\psi(\alpha)}^n\\ &= \psi(a_0+\cdots+a_n\alpha^n)\\ &= \psi(0)\\ &= 0 \end{align} となるので、$\psi(\alpha)~$は$~\hat{f}(X)~$の根である。
$$\square$$
また、$\hat{\varphi}(f(X))=\hat{f}(X)~$とおく。
このとき、 \begin{align} \hat{f}(\psi(\alpha)) &= \varphi(a_0)+\cdots+\varphi(a_n){\psi(\alpha)}^n\\ &= \psi(a_0)+\cdots+\psi(a_n){\psi(\alpha)}^n\\ &= \psi(a_0+\cdots+a_n\alpha^n)\\ &= \psi(0)\\ &= 0 \end{align} となるので、$\psi(\alpha)~$は$~\hat{f}(X)~$の根である。
補題25
$L/K,L'/K'~$を体の拡大、$\varphi:K\to K'~$を体準同型とする。$\alpha\in L~$を$~K$上代数的、$f(X)\in K[X]~$を$~\alpha~$の最小多項式とする。
$\alpha'\in L'~$を$~\hat{\varphi}(f(X))~$の根とすれば、 \[ \psi(\alpha) = \alpha' \] となる$~\varphi~$の$~K(\alpha)~$への拡張がただ1つ存在する。
$\hat{\varphi}:K[X]\to K'[X]~$と自然な準同型$~K'[X]\to K'[X]/(\hat{f}(X))~$の合成を$~\sigma:K[X]\to K'[X]/(\hat{f}(X))~$とする。
このとき、任意の$~g(X)\in(f(X))~$に対して、$\varphi(g(X))\in(\hat{f}(X))~$なので$~\sigma(g(X))=0~$となる。
よって、準同型定理より$~\sigma=\hat{\sigma}\circ\pi~$となる$~\hat{\sigma}:K[X]/(f(X))\to K'[X]/(\hat{f}(X))~$がとれる。
($\pi:K[X]\to K[X]/(f(X))~$は自然な準同型である。)
また、系21より同型$~\tau:K[X]/(f(X))\to K(\alpha),\tau':K'[X]/(\hat{f}(X))\to K'(\alpha')~$がとれる。
特に、命題19より$~\tau(\overline{X})=\alpha,\tau'(\overline{X})=\alpha'~$とできる。
ここで$~\psi:K(\alpha)\to K'(\alpha')~$を$~\psi=\tau'\circ\hat{\sigma}\circ\tau^{-1}~$で定める。
明らかに$~\psi~$は準同型写像である。
このとき、任意の$~a\in K~$に対して \begin{align} \psi(a) &= \tau'(\hat{\sigma}(\tau^{-1}(a)))\\ &= \tau'(\hat{\sigma}(a))\\ &= \tau'(\sigma(a))\\ &= \tau'(\overline{\hat{\varphi}(a)})\\ &= \tau'(\overline{\varphi(a)})\\ &= \varphi(a) \end{align} となるので、$\psi~$は$~\varphi~$の拡張である。
また、 \begin{align} \psi(\alpha) &= \tau'(\hat{\sigma}(\tau^{-1}(\alpha)))\\ &= \tau'(\hat{\sigma}(\overline{X}))\\ &= \tau'(\sigma(X))\\ &= \tau'(\overline{\hat{\varphi}(X)})\\ &= \tau'(\overline{X})\\ &= \alpha' \end{align} となる。
$\psi,\psi':K(\alpha)\to K'(\alpha')~$を \[ \psi(\alpha)=\psi'(\alpha)=\alpha' \] を満たす$~\varphi~$の拡張とする。
$x\in K(\alpha)~$を任意にとる。
$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(X)=n~$とすれば、系21より \[ x = a_0+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1} \] となる$~a_0\dots,a_{n-1}\in K~$がとれる。
このとき、 \begin{align} \psi(x) &= \psi(a_0)+\cdots+\psi(a_{n-1})\alpha'^{n-1}\\ &= \varphi(a_0)+\cdots+\varphi(a_{n-1})\alpha'^{n-1}\\ &= \psi'(a_0)+\cdots+\psi'(a_{n-1})\alpha'^{n-1}\\ &= \psi'(x) \end{align} となるので、$\psi=\psi'~$である。
$$\square$$
このとき、任意の$~g(X)\in(f(X))~$に対して、$\varphi(g(X))\in(\hat{f}(X))~$なので$~\sigma(g(X))=0~$となる。
よって、準同型定理より$~\sigma=\hat{\sigma}\circ\pi~$となる$~\hat{\sigma}:K[X]/(f(X))\to K'[X]/(\hat{f}(X))~$がとれる。
($\pi:K[X]\to K[X]/(f(X))~$は自然な準同型である。)
また、系21より同型$~\tau:K[X]/(f(X))\to K(\alpha),\tau':K'[X]/(\hat{f}(X))\to K'(\alpha')~$がとれる。
特に、命題19より$~\tau(\overline{X})=\alpha,\tau'(\overline{X})=\alpha'~$とできる。
ここで$~\psi:K(\alpha)\to K'(\alpha')~$を$~\psi=\tau'\circ\hat{\sigma}\circ\tau^{-1}~$で定める。
明らかに$~\psi~$は準同型写像である。
このとき、任意の$~a\in K~$に対して \begin{align} \psi(a) &= \tau'(\hat{\sigma}(\tau^{-1}(a)))\\ &= \tau'(\hat{\sigma}(a))\\ &= \tau'(\sigma(a))\\ &= \tau'(\overline{\hat{\varphi}(a)})\\ &= \tau'(\overline{\varphi(a)})\\ &= \varphi(a) \end{align} となるので、$\psi~$は$~\varphi~$の拡張である。
また、 \begin{align} \psi(\alpha) &= \tau'(\hat{\sigma}(\tau^{-1}(\alpha)))\\ &= \tau'(\hat{\sigma}(\overline{X}))\\ &= \tau'(\sigma(X))\\ &= \tau'(\overline{\hat{\varphi}(X)})\\ &= \tau'(\overline{X})\\ &= \alpha' \end{align} となる。
$\psi,\psi':K(\alpha)\to K'(\alpha')~$を \[ \psi(\alpha)=\psi'(\alpha)=\alpha' \] を満たす$~\varphi~$の拡張とする。
$x\in K(\alpha)~$を任意にとる。
$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(X)=n~$とすれば、系21より \[ x = a_0+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1} \] となる$~a_0\dots,a_{n-1}\in K~$がとれる。
このとき、 \begin{align} \psi(x) &= \psi(a_0)+\cdots+\psi(a_{n-1})\alpha'^{n-1}\\ &= \varphi(a_0)+\cdots+\varphi(a_{n-1})\alpha'^{n-1}\\ &= \psi'(a_0)+\cdots+\psi'(a_{n-1})\alpha'^{n-1}\\ &= \psi'(x) \end{align} となるので、$\psi=\psi'~$である。
補題26
$L/K,L'/K'~$を体の拡大、$\varphi:K\to K'~$を体準同型とする。$\alpha\in L~$を$~K$上代数的、$f(X)\in K[X]~$を$~\alpha~$の最小多項式とする。
このとき、$\varphi~$の$~K(\alpha)~$への拡張の数は高々$[K(\alpha):K]$個以下である。
$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(X)=[K(\alpha):K]=n~$とする。
$\varphi~$の$~K(\alpha)~$への拡張が$~n$個より多くあると仮定して矛盾を導く。
$\psi_1,\dots,\psi_{n+1}:K(\alpha)\to L'~$を相異なる$~\varphi~$の拡張とする。
このとき、補題25より$~\psi_1(\alpha),\dots,\psi_{n+1}(\alpha)\in L'~$は相異なる元である。
また、補題24よりこれらは$~\hat{\varphi}(f(X))~$の根となっている。
よって、 \[ \hat{\varphi}(f(X)) = g(X)(X-\psi_1(\alpha))\cdots(X-\psi_{n+1}(\alpha)) \] となる$~g(X)\in L'[X]~$がある。
したがって、$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits\hat{\varphi}(f(X))\ge n+1~$となる。
しかし、明らかに$~\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits\hat{\varphi}(f(X))\ge n~$なのでこれは矛盾である。
$$\square$$
$\varphi~$の$~K(\alpha)~$への拡張が$~n$個より多くあると仮定して矛盾を導く。
$\psi_1,\dots,\psi_{n+1}:K(\alpha)\to L'~$を相異なる$~\varphi~$の拡張とする。
このとき、補題25より$~\psi_1(\alpha),\dots,\psi_{n+1}(\alpha)\in L'~$は相異なる元である。
また、補題24よりこれらは$~\hat{\varphi}(f(X))~$の根となっている。
よって、 \[ \hat{\varphi}(f(X)) = g(X)(X-\psi_1(\alpha))\cdots(X-\psi_{n+1}(\alpha)) \] となる$~g(X)\in L'[X]~$がある。
したがって、$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits\hat{\varphi}(f(X))\ge n+1~$となる。
しかし、明らかに$~\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits\hat{\varphi}(f(X))\ge n~$なのでこれは矛盾である。
補題27
$L/M/K,L'/M'/K'~$を体の拡大、$\varphi:K\to K'~$を体準同型とする。このとき、次が成り立つ。
$(1)~$ $\psi:M\to M'~$を$~\varphi~$の拡張、$\sigma:L\to L'~$を$~\psi~$の拡張とすれば、$\sigma~$は$~\varphi~$の拡張である。
$(2)~$ $\sigma:L\to L'~$を$~\varphi~$の拡張とすれば、$\sigma~$の制限となる$~\varphi~$の拡張$~\psi:M\to M'~$がとれる。
$(1)~$
任意に$~a\in K~$をとる。
$a\in K\subset M~$であり、$\sigma~$は$~\psi~$の拡張なので
\[
\sigma(a)=\psi(a)
\]
となる。
また、$a\in K~$であり、$\psi~$は$~\varphi~$の拡張なので
\[
\sigma(a)=\psi(a)=\varphi(a)
\]
である。
よって、$\sigma~$は$~\varphi~$の拡張である。
$(2)~$
$\sigma~$の$~M~$への制限を$~\psi:M\to M'~$とする。
任意に$~a\in K~$をとる。
$\sigma~$は$~\varphi~$の拡張であり、$\psi~$は$~\sigma~$の制限なので
\[
\psi(a)=\sigma(a)=\varphi(a)
\]
となる。
よって、$\psi~$は$~\varphi~$の拡張である。
命題28
$L/K,L'/K'~$を体の拡大、$\varphi:K\to K'~$を体準同型とする。$K$上代数的な$~\alpha_1,\dots,\alpha_n\in L~$に対して、$\varphi~$の$~K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)~$への拡張は高々$[K(\alpha_1,\dots,\alpha_n):K]$個である。
$n~$に関する数学的帰納法で示す。
$n=1~$の場合は補題26で示した。
$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in L~$を$~K$上代数的とし、$M=K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})~$とする。
帰納法の仮定より、$\varphi~$の$~M~$への拡張は高々$[M:K]$個である。
補題27より、$\varphi~$の$~K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=M(\alpha_n)~$への任意の拡張は、$\varphi~$の$~M~$への拡張のさらに$~M(\alpha_n)~$への拡張になっている。
また、$\alpha_n~$は明らかに$~M$上代数的である。
$\varphi~$の$~M~$への拡張をさらに$~M(\alpha_n)~$へ拡張する方法は、補題26より高々$[M(\alpha_n):M]$個である。
したがって、$\varphi~$の$~K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)~$への拡張の個数は高々 \[ [M(\alpha_n):M][M:K] = [M(\alpha_n):K] \] 個である。
$$\square$$
$n=1~$の場合は補題26で示した。
$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in L~$を$~K$上代数的とし、$M=K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})~$とする。
帰納法の仮定より、$\varphi~$の$~M~$への拡張は高々$[M:K]$個である。
補題27より、$\varphi~$の$~K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=M(\alpha_n)~$への任意の拡張は、$\varphi~$の$~M~$への拡張のさらに$~M(\alpha_n)~$への拡張になっている。
また、$\alpha_n~$は明らかに$~M$上代数的である。
$\varphi~$の$~M~$への拡張をさらに$~M(\alpha_n)~$へ拡張する方法は、補題26より高々$[M(\alpha_n):M]$個である。
したがって、$\varphi~$の$~K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)~$への拡張の個数は高々 \[ [M(\alpha_n):M][M:K] = [M(\alpha_n):K] \] 個である。
定理29
$L/K,L'/K~$を体の拡大、$L/K~$を有限次拡大とする。このとき、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,L')|\le[L:K]~$となる。
補題5より$~L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)~$となる$~\alpha_1,\dots,\alpha_n\in L~$がとれる。
命題7より$~\alpha_1,\dots,\alpha_n~$は$~K$上代数的である。
命題28より恒等写像$~K\to K~$の$~L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)~$への拡張は高々$[L:K]$個である。
よって、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,L')|\le[L:K]~$となる。
$$\square$$
命題7より$~\alpha_1,\dots,\alpha_n~$は$~K$上代数的である。
命題28より恒等写像$~K\to K~$の$~L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)~$への拡張は高々$[L:K]$個である。
よって、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,L')|\le[L:K]~$となる。