体論 (10)分離拡大
$K~$を体、$f(X)\in K[X]~$とする。
$f(X)~$が$~\overline{K}~$で重根をもたないとき、$f(X)~$は分離多項式であるという。
$L/K~$を体の代数的拡大とする。
$x\in L~$の$~K$上の最小多項式が分離多項式であるとき、$x~$は$~K$上分離的であるという。
そうでなければ$~x~$は$~K$上非分離的であるという。
また、$L~$のすべての元が$~K$上分離的であるとき、$L/K~$は分離拡大であるという。
そうでなければ$~L/K~$は非分離拡大という。
命題46
$L/K~$を代数的拡大、$M~$を$~L/K~$の中間体とする。$x\in\ L~$が$~K$上分離的なら、$x~$は$~M$上分離的である。
$x\in L~$の$~K,M$上の最小多項式をそれぞれ$~f(X)\in K[X],g(X)\in M[X]~$とする。
明らかに$~f(X)\in M[X]~$なので、$g(X)\mid f(X)~$である。
$x~$は$~K$上分離的なので$~f(X)~$は$~\overline{K}~$に重根をもたない。
$\overline{M}=\overline{K}~$とみなすので、$f(X)~$は$~\overline{M}~$に重根をもたない。
$g(X)~$が$~\overline{M}~$に重根をもてば、それは$~f(X)~$の重根にもなるので矛盾する。
したがって、$g(X)~$は分離多項式である。
$$\square$$
明らかに$~f(X)\in M[X]~$なので、$g(X)\mid f(X)~$である。
$x~$は$~K$上分離的なので$~f(X)~$は$~\overline{K}~$に重根をもたない。
$\overline{M}=\overline{K}~$とみなすので、$f(X)~$は$~\overline{M}~$に重根をもたない。
$g(X)~$が$~\overline{M}~$に重根をもてば、それは$~f(X)~$の重根にもなるので矛盾する。
したがって、$g(X)~$は分離多項式である。
補題47
$L/K~$を体の拡大、$\alpha\in L~$は$~K$上代数的とする。このとき、次が成り立つ。 \[ \alpha:K上分離的 ~\Longleftrightarrow~ |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha),\overline{K})|=[K(\alpha):K] \]
$f(X)\in K[X]~$を$~\alpha~$の最小多項式、$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(X)=n~$とする。
$\alpha~$は$~K$上分離的であるとする。
$\overline{K}~$は代数閉体なので \[ f(X) = (X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_n) \] となる$~\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\overline{K}~$がとれる。
$\alpha~$が$~K$上分離的であるので、$\alpha_1,\dots,\alpha_n~$はすべて異なる。
各$~i=1,\dots,n~$に対して$~\alpha_i~$は$~f(X)~$の根なので、補題25より \[ \varphi_i(\alpha) = \alpha_i \] となる$~K$準同型$~\varphi_i:K(\alpha)\to\overline{K}~$が存在する。
そしてこれら$~\varphi_1,\dots,\varphi_n~$はすべて異なる。
よって、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha),\overline{K})|\ge n=[K(\alpha):K]~$となる。
また、定理29より$~|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha),\overline{K})|=n=[K(\alpha):K]~$である。
$\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha),\overline{K})=\{\psi_1,\dots,\psi_n\}~$とする。
このとき、$\psi_1(\alpha),\dots,\psi_n(\alpha)\in\overline{K}~$はすべて$~f(X)~$の根である。
$\{1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}\}~$は$~K(\alpha)~$の基底なので、$\psi_1(\alpha),\dots,\psi_n(\alpha)~$はすべて異なる。
($\because~$$K(\alpha)~$からの$~K$準同型は$~\alpha~$の像によって一意的に定まるので$~\psi_i(\alpha)=\psi_j(\alpha)~$なら$~\psi_i=\psi_j~$となる。)
よって、 \[ f(X) = (X-\psi_1(\alpha))\cdots(X-\psi_n(\alpha)) \] と分解できる。
$\psi_1(\alpha),\dots,\psi_n(\alpha)~$はすべて異なるので$~\alpha~$は$~K$上分離的である。
$$\square$$
$\alpha~$は$~K$上分離的であるとする。
$\overline{K}~$は代数閉体なので \[ f(X) = (X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_n) \] となる$~\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\overline{K}~$がとれる。
$\alpha~$が$~K$上分離的であるので、$\alpha_1,\dots,\alpha_n~$はすべて異なる。
各$~i=1,\dots,n~$に対して$~\alpha_i~$は$~f(X)~$の根なので、補題25より \[ \varphi_i(\alpha) = \alpha_i \] となる$~K$準同型$~\varphi_i:K(\alpha)\to\overline{K}~$が存在する。
そしてこれら$~\varphi_1,\dots,\varphi_n~$はすべて異なる。
よって、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha),\overline{K})|\ge n=[K(\alpha):K]~$となる。
また、定理29より$~|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha),\overline{K})|=n=[K(\alpha):K]~$である。
$\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha),\overline{K})=\{\psi_1,\dots,\psi_n\}~$とする。
このとき、$\psi_1(\alpha),\dots,\psi_n(\alpha)\in\overline{K}~$はすべて$~f(X)~$の根である。
$\{1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}\}~$は$~K(\alpha)~$の基底なので、$\psi_1(\alpha),\dots,\psi_n(\alpha)~$はすべて異なる。
($\because~$$K(\alpha)~$からの$~K$準同型は$~\alpha~$の像によって一意的に定まるので$~\psi_i(\alpha)=\psi_j(\alpha)~$なら$~\psi_i=\psi_j~$となる。)
よって、 \[ f(X) = (X-\psi_1(\alpha))\cdots(X-\psi_n(\alpha)) \] と分解できる。
$\psi_1(\alpha),\dots,\psi_n(\alpha)~$はすべて異なるので$~\alpha~$は$~K$上分離的である。
補題48
体の有限次拡大$~L/M,M/K~$に対して、次が成り立つ。
\[
|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})|=|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|
\]
任意の$~\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})~$に対して$~\overline{K}~$への拡張を$~\overline{\varphi}\in\mathrm{Aut}(\overline{K}/K)~$とする。
(命題42からこの拡張はとれる。)
ここで、写像$~f:\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})\times\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})\to\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})~$を \[ f(\varphi,\psi) = \overline{\psi}\circ\varphi ~~~~~(\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K}),\psi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})) \] で定める。
また、任意の$~\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})~$に対して$~M~$への制限$~\varphi\upharpoonright_M\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})~$を$~\varphi'~$とする。
写像$~g:\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})\to\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})\times\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})~$を \[ g(\varphi) = (\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi,\varphi') ~~~~~(\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})) \] と定める。
$\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})~$であることを確かめる。
任意の$~x\in M~$に対して \begin{align} (\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi)(x) &= \overline{\varphi'}^{-1}(\varphi(x))\\ &= \overline{\varphi\upharpoonright_M}^{-1}(\overline{\varphi\upharpoonright_M}(x))\\ &= x \end{align} となるので、$\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi~$は$~M~$の元を固定する。
任意に$~\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K}),\psi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})~$をとる。
このとき、任意の$~x\in M~$に対して \begin{align} (\overline{\psi}\circ\varphi)'(x) &= (\overline{\psi}\circ\varphi)(x)\\ &= \overline{\psi}(\varphi(x))\\ &= \overline{\psi}(x)\\ &= \psi(x) \end{align} となるので、$(\overline{\psi}\circ\varphi)'=\psi~$である。
\begin{align} (g\circ f)(\varphi,\psi) &= g(f(\varphi,\psi))\\ &= g(\overline{\psi}\circ\varphi)\\ &= \left(\overline{(\overline{\psi}\circ\varphi)'}^{-1}\circ(\overline{\psi}\circ\varphi),(\overline{\psi}\circ\varphi)'\right)\\ &= \left(\overline{\psi}^{-1}\circ(\overline{\psi}\circ\varphi),\psi\right)\\ &= \left(\left(\overline{\psi}^{-1}\circ\overline{\psi}\right)\circ\varphi,\psi\right)\\ &= (\varphi,\psi) \end{align} となるので、$g\circ f~$は恒等写像である。
任意の$~\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})~$に対して \begin{align} (f\circ g)(\varphi) &= f(g(\varphi))\\ &= f(\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi,\varphi')\\ &= \overline{\varphi'}\circ(\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi)\\ &= (\overline{\varphi'}\circ\overline{\varphi'}^{-1})\circ\varphi\\ &= \varphi \end{align} となるので、$f\circ g~$は恒等写像である。
したがって、$f,g~$は互いに逆写像で、全単射となっている。
$L/K,L/M,M/K~$は有限次拡大なので、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})|,|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})|,|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|~$もすべて有限である。
よって、 \[ |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})|=|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})| \] が成り立つ。
$$\square$$
(命題42からこの拡張はとれる。)
ここで、写像$~f:\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})\times\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})\to\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})~$を \[ f(\varphi,\psi) = \overline{\psi}\circ\varphi ~~~~~(\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K}),\psi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})) \] で定める。
また、任意の$~\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})~$に対して$~M~$への制限$~\varphi\upharpoonright_M\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})~$を$~\varphi'~$とする。
写像$~g:\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})\to\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})\times\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})~$を \[ g(\varphi) = (\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi,\varphi') ~~~~~(\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})) \] と定める。
$\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})~$であることを確かめる。
任意の$~x\in M~$に対して \begin{align} (\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi)(x) &= \overline{\varphi'}^{-1}(\varphi(x))\\ &= \overline{\varphi\upharpoonright_M}^{-1}(\overline{\varphi\upharpoonright_M}(x))\\ &= x \end{align} となるので、$\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi~$は$~M~$の元を固定する。
任意に$~\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K}),\psi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})~$をとる。
このとき、任意の$~x\in M~$に対して \begin{align} (\overline{\psi}\circ\varphi)'(x) &= (\overline{\psi}\circ\varphi)(x)\\ &= \overline{\psi}(\varphi(x))\\ &= \overline{\psi}(x)\\ &= \psi(x) \end{align} となるので、$(\overline{\psi}\circ\varphi)'=\psi~$である。
\begin{align} (g\circ f)(\varphi,\psi) &= g(f(\varphi,\psi))\\ &= g(\overline{\psi}\circ\varphi)\\ &= \left(\overline{(\overline{\psi}\circ\varphi)'}^{-1}\circ(\overline{\psi}\circ\varphi),(\overline{\psi}\circ\varphi)'\right)\\ &= \left(\overline{\psi}^{-1}\circ(\overline{\psi}\circ\varphi),\psi\right)\\ &= \left(\left(\overline{\psi}^{-1}\circ\overline{\psi}\right)\circ\varphi,\psi\right)\\ &= (\varphi,\psi) \end{align} となるので、$g\circ f~$は恒等写像である。
任意の$~\varphi\in\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})~$に対して \begin{align} (f\circ g)(\varphi) &= f(g(\varphi))\\ &= f(\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi,\varphi')\\ &= \overline{\varphi'}\circ(\overline{\varphi'}^{-1}\circ\varphi)\\ &= (\overline{\varphi'}\circ\overline{\varphi'}^{-1})\circ\varphi\\ &= \varphi \end{align} となるので、$f\circ g~$は恒等写像である。
したがって、$f,g~$は互いに逆写像で、全単射となっている。
$L/K,L/M,M/K~$は有限次拡大なので、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})|,|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})|,|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|~$もすべて有限である。
よって、 \[ |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})|=|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})| \] が成り立つ。
定理49
体の有限次拡大$~L/K~$に対して次が成り立つ。
\[
L/K:分離拡大 ~\Longleftrightarrow~ |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})|=[L:K]
\]
補題5より$~L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)~$となる$~\alpha_1,\dots,\alpha_n\in K~$がある。
$L/K~$は有限次拡大なので$~\alpha_1,\dots,\alpha_n~$はすべて$~K$上代数的である。
$L/K~$を分離拡大とすれば、体の拡大の列 \[ K \subset K(\alpha_1) \subset K(\alpha_1,\alpha_2) \subset\cdots\subset K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=L \] はすべて有限次分離拡大となる。
よって、補題47,48より \begin{align} |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})| &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K(\alpha_1)}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha_1),\overline{K})|\\ &~~\vdots\\ &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})}}\nolimits(L,\overline{K})|\cdots|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha_1),\overline{K})|\\ &= [L:K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})]\cdots[K(\alpha_1):K]\\ &~~\vdots\\ &= [L:K(\alpha_1)][K(\alpha_1):K]\\ &= [L:K] \end{align} となる。
$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})|=[L:K]~$とする。
$\alpha\in L,M=K(\alpha)~$とする。
$L/K~$は有限次拡大なので$~\alpha~$は$~K$上代数的である。
このとき、補題48より \begin{align} |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})| &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|\\ &\le [L:M][M:K]\\ &= [L:K]\\ &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})| \end{align} となるので、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|=[L:M][M:K]~$である。
特に定理29より、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|=[M:K]~$となる。
補題47より、$\alpha~$は$~K$上分離的となる。
$$\square$$
$L/K~$は有限次拡大なので$~\alpha_1,\dots,\alpha_n~$はすべて$~K$上代数的である。
$L/K~$を分離拡大とすれば、体の拡大の列 \[ K \subset K(\alpha_1) \subset K(\alpha_1,\alpha_2) \subset\cdots\subset K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=L \] はすべて有限次分離拡大となる。
よって、補題47,48より \begin{align} |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})| &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K(\alpha_1)}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha_1),\overline{K})|\\ &~~\vdots\\ &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})}}\nolimits(L,\overline{K})|\cdots|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha_1),\overline{K})|\\ &= [L:K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})]\cdots[K(\alpha_1):K]\\ &~~\vdots\\ &= [L:K(\alpha_1)][K(\alpha_1):K]\\ &= [L:K] \end{align} となる。
$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})|=[L:K]~$とする。
$\alpha\in L,M=K(\alpha)~$とする。
$L/K~$は有限次拡大なので$~\alpha~$は$~K$上代数的である。
このとき、補題48より \begin{align} |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})| &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|\\ &\le [L:M][M:K]\\ &= [L:K]\\ &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})| \end{align} となるので、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|=[L:M][M:K]~$である。
特に定理29より、$|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|=[M:K]~$となる。
補題47より、$\alpha~$は$~K$上分離的となる。
系50
有限次分離拡大$~L/M,M/K~$に対して、$L/K~$は分離拡大となる。
補題49と定理50より
\begin{align}
|\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(L,\overline{K})| &= |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{M}}\nolimits(L,\overline{K})||\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(M,\overline{K})|\\
&= [L:M][M:K]\\
&= [L:K]
\end{align}
となるので、定理50より$~L/K~$は分離拡大である。
$$\square$$
系51
$L/K~$を体の代数的拡大、$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in L~$は$~K$上分離的とする。このとき、$K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)~$は分離拡大である。
$n~$に関する数学的帰納法で示す。
$\alpha_1~$が$~K$上分離的なので、補題47より \[ |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha_1),\overline{K})|=[K(\alpha_1):K] \] となる。
また、定理49から$~K(\alpha_1)/K~$が分離拡大であることがわかる。
$M=K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})~$とし、$M/K~$は分離拡大であるとする。
命題46より、$\alpha_n~$は$~M$上分離的である。
よって、$M(\alpha_n)/M~$は分離拡大となる。
$M/K~$も分離拡大なので、系50より$~M(\alpha_n)/K~$は分離拡大である。
$$\square$$
$\alpha_1~$が$~K$上分離的なので、補題47より \[ |\mathop{\mathrm{Hom}^{\mathrm{al}}_{K}}\nolimits(K(\alpha_1),\overline{K})|=[K(\alpha_1):K] \] となる。
また、定理49から$~K(\alpha_1)/K~$が分離拡大であることがわかる。
$M=K(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})~$とし、$M/K~$は分離拡大であるとする。
命題46より、$\alpha_n~$は$~M$上分離的である。
よって、$M(\alpha_n)/M~$は分離拡大となる。
$M/K~$も分離拡大なので、系50より$~M(\alpha_n)/K~$は分離拡大である。