集合と写像 (10)集合族
元がすべて集合である集合を集合族、あるいは単に族という。
集合$~X~$に対して、$~X~$の部分集合全体のなす集合族を冪集合(power set)といい、$\mathcal{P}(X)~$や$~\mathfrak{P}(X)~$などと書く。 つまり、 \[ \mathcal{P}(X):=\{A\mid A\subset X\} \] また、元がすべて$~X~$の部分集合である集合族、つまり$~\mathcal{P}(X)~$の部分集合を$~X~$の部分集合族という。
$\mathcal{A}~$を集合族とするとき、集合$~\Lambda~$を用いて、 \[ \mathcal{A}=\{A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda\} \] と表すこともある。このとき、$\Lambda~$を添え字集合、$\lambda~$を添え字という。
集合$~X~$の部分集合族$~\mathcal{A}~$に対し、 \[ \bigcup\mathcal{A}:=\{x\in X\mid~{}^{\exists}A\in\mathcal{A}~\text{s.t.}~x\in A\} \] と定め、これを$~\mathcal{A}~$の和集合という。 また、 \[ \bigcap\mathcal{A}:=\{x\in X\mid~{}^{\forall}A\in\mathcal{A},x\in A\} \] と定め、これを$~\mathcal{A}~$の共通部分という。
特に、$~\mathcal{A}=\{A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda\}~$と表されているとき、 \begin{split} &\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\bigcup\mathcal{A}\\ &\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\bigcap\mathcal{A} \end{split} とも書く。
$\displaystyle\bigcup_{i\in\{1,\dots,n\}}A_i~$や$~\displaystyle\bigcap_{i\in\{1,\dots,n\}}A_i~$は通常 $~\displaystyle\bigcup_{i=1}^nA_i~$や$~\displaystyle\bigcap_{i=1}^nA_i~$と表す。
$\mathcal{A}=\{A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda\}~$のどの2つの元も互いに交わってないとき、$\displaystyle\bigcup\mathcal{A}~$や$~\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$は$~\displaystyle\bigsqcup\mathcal{A},\coprod\mathcal{A}~$や$~\displaystyle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda},\coprod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$と書かれることがある。
$(1)~$
$\displaystyle x\in X\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$とする。
このとき、$x\in X~$かつ$~\displaystyle x\notin\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$である。
$\displaystyle
x\notin\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$より、${}^{\forall}\lambda\in\Lambda,x\notin
A_{\lambda}~$となる。
これと$~x\in X~$より、${}^{\forall}\lambda\in\Lambda,x\in X\setminus A_{\lambda}~$である。
よって、$\displaystyle x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus A_{\lambda})~$となるので、$\displaystyle
X\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subset\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus
A_{\lambda})~$である。
$\displaystyle x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus A_{\lambda})~$とする。
このとき、${}^{\forall}\lambda\in\Lambda,x\in X\setminus A_{\lambda}~$であるので、$x\in
X~$かつ$~{}^{\forall}\lambda\in\Lambda,x\notin A_{\lambda}~$となる。
したがって、$x\in X~$かつ$~\displaystyle x\notin\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$である。
つまり、$\displaystyle x\in
X\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$となり、$\displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus
A_{\lambda})\subset X\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$である。
$(2)~$
$\displaystyle x\in X\setminus\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$とする。
このとき、$x\in X~$かつ$~\displaystyle x\notin \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$である。
$\displaystyle x\notin \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$より、$x\notin
A_{\lambda_0}~$となる$~\lambda_0\in\Lambda~$がある。
$x\in X~$かつ$~x\notin A_{\lambda_0}~$なので、$x\in X\setminus A_{\lambda_0}~$である。
よって、$\displaystyle x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus A_{\lambda})~$となり、$\displaystyle
X\setminus\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus
A_{\lambda})~$である。
$\displaystyle x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus A_{\lambda})~$とする。
このとき、$x\in X\setminus A_{\lambda_0}~$となる$~\lambda_0\in\Lambda~$がある。
$x\in X~$かつ$~\lambda\in\Lambda,x\notin A_{\lambda_0}~$となるので、$x\in X~$かつ$~\displaystyle
x\notin\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$である。
よって、$\displaystyle x\in
X\setminus\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$となり、$\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus
A_{\lambda})\subset X\setminus\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$である。
このとき、次が成り立つ。 \begin{split} (1)&~f\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda})\\ (2)&~f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\subset\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda})\\ (3)&~f^{-1}\left(\bigcup_{\kappa\in K}B_{\kappa}\right)=\bigcup_{\kappa\in K}f^{-1}(B_{\kappa})\\ (4)&~f^{-1}\left(\bigcap_{\kappa\in K}B_{\kappa}\right)=\bigcap_{\kappa\in K}f^{-1}(B_{\kappa}) \end{split}
$(1)~$
$\displaystyle y\in f\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)~$をとる。
このとき、$y=f(a)~$となる$~\displaystyle a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$がある。
また、$\displaystyle a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$より、$a\in
A_{\lambda_0}~$となる$~\lambda_0\in\Lambda~$がある。
つまり、$y=f(a)\in f(A_{\lambda_0})~$となる$~\lambda_0\in\Lambda~$がある。
よって、$\displaystyle y\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda})~$なので、$\displaystyle
f\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda})~$である。
$\displaystyle y\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda})~$をとる。
このとき、$y\in f(A_{\lambda_0})~$となる$~\lambda_0\in\Lambda~$がある。
$y\in f(A_{\lambda_0})~$より$~y=f(a)~$となる$~a\in A_{\lambda_0}~$がある。
$a\in A_{\lambda_0}~$なので$~\displaystyle a\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$である。
よって、$\displaystyle y=f(a)\in
f\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)~$となるので$\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda})\subset
f\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)~$である。
$(2)~$
$\displaystyle y\in f\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)~$とする。
このとき、$y=f(a)~$となる$~\displaystyle a\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$がある。
$\displaystyle a\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}~$より、${}^{\forall}\lambda\in\Lambda,a\in
A_{\lambda}~$である。
よって、${}^{\forall}\lambda\in\Lambda~$について$~y=f(a)\in f(A_{\lambda})~$となる。
したがって、$\displaystyle y\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda})~$である。
$(3)~$
$\displaystyle x\in f^{-1}\left(\bigcup_{\kappa\in K}B_{\kappa}\right)~$をとる。
このとき、$x\in X~$かつ$~\displaystyle f(x)\in\bigcup_{\kappa\in K}B_{\kappa}~$である。
$\displaystyle f(x)\in\bigcup_{\kappa\in K}B_{\kappa}~$より、$f(x)\in B_{\kappa_0}~$となる$~\kappa_0\in
K~$がある。
$f(x)\in B_{\kappa_0}~$より$~x\in f^{-1}(B_{\kappa_0})~$となるので、$\displaystyle x\in\bigcup_{\kappa\in
K}f^{-1}(B_{\kappa})~$となる。
よって、$\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup_{\kappa\in K}B_{\kappa}\right)\subset\bigcup_{\kappa\in
K}f^{-1}(B_{\kappa})~$である。
$\displaystyle x\in\bigcup_{\kappa\in K}f^{-1}(B_{\kappa})~$をとる。
このとき、$x\in f^{-1}(B_{\kappa_0})~$となる$~\kappa_0\in K~$がある。
$x\in f^{-1}(B_{\kappa_0})~$より$~f(x)\in B_{\kappa_0}~$となるので、$\displaystyle f(x)\in \bigcup_{\kappa\in
K}B_{\kappa}~$である。
よって、$\displaystyle x\in f^{-1}\left(\bigcup_{\kappa\in
K}B_{\kappa}\right)~$となるので、$\displaystyle\bigcup_{\kappa\in K}f^{-1}(B_{\kappa})\subset
f^{-1}\left(\bigcup_{\kappa\in K}B_{\kappa}\right)~$である。
$(4)~$
$\displaystyle x\in f^{-1}\left(\bigcap_{\kappa\in K}B_{\kappa}\right)~$とする。
このとき、$\displaystyle f(x)\in\bigcap_{\kappa\in K}B_{\kappa}~$である。
${}^{\forall}\kappa\in K,f(x)\in B_{\kappa}~$より、${}^{\forall}\kappa\in K,x\in
f^{-1}(B_{\kappa})~$となる。
よって、$\displaystyle x\in\bigcap_{\kappa\in K}f^{-1}(B_{\kappa})~$なので、$\displaystyle
f^{-1}\left(\bigcap_{\kappa\in K}B_{\kappa}\right)\subset\bigcap_{\kappa\in
K}f^{-1}(B_{\kappa})~$である。
$\displaystyle x\in\bigcap_{\kappa\in K}f^{-1}(B_{\kappa})~$とする。
このとき、${}^{\forall}\kappa\in K,x\in f^{-1}(B_{\kappa})~$なので、$x\in X~$かつ$~{}^{\forall}\kappa\in
K,f(x)\in B_{\kappa}~$である。
よって、$\displaystyle f(x)\in\bigcap_{\kappa\in K}B_{\kappa}~$となるので、$\displaystyle x\in
f^{-1}\left(\bigcap_{\kappa\in K}B_{\kappa}\right)~$である。
したがって、$\displaystyle\bigcap_{\kappa\in K}f^{-1}(B_{\kappa})\subset f^{-1}\left(\bigcap_{\kappa\in
K}B_{\kappa}\right)~$となる。