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集合と写像　(3)集合の演算

　集合$~A,B~$に対して、 \[ A\cup B:=\{x\mid x\in A~\hbox{または}~x\in B\} \] と定め、これを$~A~$と$~B~$の和集合という。 また、 \[ A\cap B:=\{x\mid x\in A~\hbox{かつ}~x\in B\} \] と定め、これを$~A~$と$~B~$の共通部分または積集合という。
　$A\cap B=\emptyset~$のとき、$A~$と$~B~$は交わらないまたは互いに素という。 $A\cap B\neq\emptyset~$のとき、$A~$と$~B~$は交わるという。 特に、互いに交わらない集合$~A,B~$の和集合は非交和、または直和と呼び \[ \begin{array}{ccc} A\sqcup B & \hbox{または} & A\amalg B \end{array} \] などと書くことがある。

命題2
集合$~A,B~$に対し、次が成り立つ。 \begin{split} (1)~&A\subset A\cup B~,~B\subset A\cup B\\ (2)~&A\cap B\subset A~,~A\cap B\subset B \end{split}

$(1)~$ $x\in A~$とする。
このとき、$x\in A~$より「$x\in A~$または$~x\in B$」は正しい。
よって、$x\in A\cup B~$であるので、$A\subset A\cup B~$となる。
同様にして、$B\subset A\cup B~$も従う。

$(2)~$ $x\in A\cap B~$とする。
このとき、$x\in A~$かつ$~x\in B~$なので$~x\in A~$である。
よって、$A\cap B\subset A~$となる。
同様にして、$A\cap B\subset B~$も従う。

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命題3
集合$~A,B,C~$に対し、次が成り立つ。 \begin{split} (1)~&A\cup A=A~,~A\cap A=A\\ (2)~&A\cup B=B\cup A~,~A\cap B=B\cap A\\ (3)~&(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\\ (4)~&(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\\ \end{split}

$(1)~$ 「$x\in A~$または$~x\in A$」と「$x\in A$」は同値命題である。
つまり、 \begin{split} A\cup A&=\{x\mid x\in A~\hbox{または}~x\in A\}\\ &=\{x\mid x\in A\}\\ &=A \end{split} となる。
「$x\in A~$かつ$~x\in A$」と「$x\in A$」は同値命題であるので、同様に$~A\cap A=A~$である。

$(2)~$ 「$x\in A~$または$~x\in B$」と「$x\in B~$または$~x\in A$」は同値なので、$A\cup B~$と$~B\cup A~$は等しい。
同様に「$x\in A~$かつ$~x\in B$」と「$x\in B~$かつ$~x\in A$」は同値なので、$A\cap B~$と$~B\cap A~$は等しい。

$(3)~$ 「$x\in(A\cup B)~$または$~x\in C$」と「$x\in A~$または$~x\in B~$または$~x\in C$」は明らかに同値であり、また、「$x\in A~$または$~x\in B~$または$~x\in C$」と「$x\in A~$または$~x\in(B\cup C)$」も同値である。 よって、$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)~$となる。

$(4)~$ 「$x\in(A\cap B)~$または$~x\in C$」と「$x\in A~$または$~x\in B~$または$~x\in C$」は明らかに同値であり、また、「$x\in A~$または$~x\in B~$または$~x\in C$」と「$x\in A~$または$~x\in(B\cap C)$」も同値である。 よって、$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)~$となる。

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命題4
集合$~A,B,C~$に対し、次が成り立つ。 \begin{split} (1)~&A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\\ (2)~&A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) \end{split}

$(1)~$ $x\in A\cup(B\cap C)~$とする。 このとき、$x\in A~$または$~x\in B\cap C~$である。

＜$x\in A~$のとき＞
$x\in A~$より、$x\in A\cup B~$かつ$~x\in A\cup C~$となる。
よって、$x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)~$である。

＜$x\in B\cap C~$のとき＞
$x\in B~$かつ$~x\in C~$なので、$x\in A\cup B~$かつ$~x\in A\cup C~$である。
よって、$x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)~$となる。

いずれの場合も$~x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)~$となったので、$A\cup(B\cap C)\subset(A\cup B)\cap(A\cup C)~$となる。

逆に、$x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)~$とする。 このとき、$x\in A\cup B~$かつ$~x\in A\cup C~$である。

＜$x\in A~$のとき＞
$x\in A~$より$~x\in A\cup(B\cap C)~$である。

＜$x\notin A~$のとき＞
$x\in A\cup B~$かつ$~x\in A\cup C~$なので、$x\in B~$かつ$~x\in C~$である。
よって、$x\in B\cap C~$であり、$x\in A\cup(B\cap C)~$となる。

いずれの場合も$~x\in A\cup(B\cap C)~$となったので、$(A\cup B)\cap(A\cup C)\subset A\cup(B\cap C)~$となる。

$A\cup(B\cap C)\subset(A\cup B)\cap(A\cup C)~$と$~(A\cup B)\cap(A\cup C)\subset A\cup(B\cap C)~$が示されたので、$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)~$である。

$(2)~$ $x\in A\cap(B\cup C)~$とする。 このとき、$x\in A~$かつ$~x\in B\cup C~$である。
また、$x\in B\cup C~$より$~x\in B~$または$~x\in C~$である。

＜$x\in B~$のとき＞
$x\in A~$かつ$~x\in B~$なので、$x\in A\cap B~$となる。
よって、$x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)~$である。

＜$x\in C~$のとき＞
$x\in A~$かつ$~x\in C~$なので、$x\in A\cap C~$となる。
よって、$x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)~$となる。

いずれの場合も$~x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)~$となったので、$A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)~$となる。

逆に、$x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)~$とする。 このとき、$x\in A\cap B~$または$~x\in A\cap C~$である。

＜$x\in A\cap B~$のとき＞
$x\in A~$かつ$~x\in B~$なので、$x\in A~$かつ$~x\in B\cup C~$である。
よって、$x\in A\cap(B\cup C)~$となる。

＜$x\in A\cap C~$のとき＞
$x\in A~$かつ$~x\in C~$なので、$x\in A~$かつ$~x\in B\cup C~$である。
よって、$x\in A\cap(B\cup C)~$となる。

いずれの場合も$~x\in A\cap(B\cup C)~$となったので、$(A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)~$となる。

$A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)~$と$~(A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)~$が示されたので、$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)~$である。

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　集合$~A,B~$に対し、 $$ A\setminus B:=\{x\mid x\in A~\hbox{かつ}~x\notin B\} $$ と定め、これを$~A~$から$~B~$を引いた差集合という。
$A\setminus B~$は$~A-B~$と書かれることもある。
(1)集合とは
(2)部分集合と集合の相等
(3)集合の演算