集合と写像　(8)全射、単射、全単射

$(1)~$ $f~$と$~g~$を全射とし、任意に$~z\in Z~$をとる。
$g:Y\to Z~$は全射であり$~z\in Z~$なので、$g(y_0)=z~$を満たす$~y_0\in Y~$が存在する。
$f:X\to Y~$は全射であり$~y_0\in Y~$なので、$f(x_0)=y_0~$を満たす$~x_0\in X~$が存在する。
このとき、 \begin{split} (g\circ f)(x_0)&=g(f(x_0))\\ &=g(y_0)\\ &=z \end{split} となるので、$g\circ f~$は全射である。

$(2)~$ $f~$と$~g~$を単射とする。
${}^{\forall}x,x'\in X~$をとり、$(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')~$とする。
このとき、$g(f(x))=g(f(x'))~$となっている。
これと$~g~$の単射性から$~f(x)=f(x')~$となる。
また、これと$~f~$の単射性から$~x=x'~$となる。
$g\circ f~$は単射である。

$(1)~$ $f~$が単射とする。
$f^{-1}(f(A))\supset A~$は示したので、$f^{-1}(f(A))\subset A~$を示す。
$x\in f^{-1}(f(A))~$とする。
このとき、$f(x)\in f(A)~$である。
よって、$f(x)=f(a)~$を満たす$~a\in A~$がある。
$f(x)=f(a)~$と$~f~$の単射性より、$x=a~$となる。
$x=a~$と$~a\in A~$より、$x\in A~$である。
よって、$f^{-1}(f(A))\subset A~$である。

$(2)~$ $f~$が全射であるとする。
$f(f^{-1}(B))\subset B~$は示したため、$f(f^{-1}(B))\supset B~$を示す。
$y\in B~$をとる。
$y\in B~$と$~B\subset Y~$より、$y\in Y~$である。
$y\in Y~$と$~f~$の全射性より、$y=f(x)~$となる$~x\in X~$がある。
このとき、$f(x)=y\in B~$より、$x\in f^{-1}(B)~$となる。
よって、$f(x)\in f(f^{-1}(B))~$となるので、$y\in f(f^{-1}(B))~$である。
したがって、$B\subset f(f^{-1}(B))~$である。

$(1)~$ $g\circ f~$を全射とし、任意に$~z\in Z~$をとる。
$g\circ f:X\to Z~$が全射なので、$(g\circ f)(x)=z~$を満たす$~x\in X~$がある。
$x\in X~$で$~f\in X\to Y~$より、$f(x)\in Y~$である。
$g(f(x))=(g\circ f)(x)=z~$なので、$g~$は全射である。

$(2)~$ $g\circ f~$が単射であるとする。
${}^{\forall}x,x'\in X~$をとり、$f(x)=f(x')~$とする。
このとき、$f(x),f(x')\in Y~$であり$~f(x)=f(x')~$なので、$g(f(x))=g(f(x'))~$である。
よって、$(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')~$となる。
これと$~g\circ f~$の単射性より、$x=x'~$である。
よって、$f~$は単射である。