集合と写像 (7)像と逆像
$X,Y~$を集合、$f:X\to Y~$を写像とする。
$A\subset X~$に対し $$ f(A):=\{f(a)\mid x\in A\}~(\subset Y) $$ と定め、これを$~f~$による$~A~$の像という。
$B\subset Y~$に対し $$ f^{-1}(B):=\{x\in X\mid f(x)\in B\} $$ と定め、これを$~f~$による$~B~$の逆像という。
$f:X\to Y~$に対して、$f(X)~$を$~f~$の値域という。
$(1)~$
$A_1\subset A_2~$とし、$y\in f(A_1)~$をとる。
$y\in f(A_1)~$より、$y=f(a)~$を満たす$~a\in A_1~$がある。
$a\in A_1~$と$~A_1\subset A_2~$より、$a\in A_2~$となる。
よって、$f(a)\in f(A_2)~$である。
これと$~y=f(a)~$より、$y\in f(A_2)~$となる。
したがって、$f(A_1)\subset f(A_2)~$である。
$(2)~$
$y\in f(A_1\cup A_2)~$をとる。
このとき、$y=f(a)~$となる$~a\in A_1\cup A_2~$がある。
＜$a\in A_1~$のとき＞
$a\in A_1~$より、$y=f(a)\in f(A_1)~$である。
よって、$y\in f(A_1)\cup f(A_2)~$となる。
＜$a\in A_2~$のとき＞
$a\in A_2~$より、$y=f(a)\in f(A_2)~$である。
よって、$y\in f(A_1)\cup f(A_2)~$となる。
逆に、$y\in f(A_1)\cup f(A_2)~$をとる。
＜$y\in f(A_1)~$のとき＞
$y\in f(A_1)~$より、$y=f(a_1)~$となる$~a_1\in f(A_1)~$がある。
$a_1\in A_1~$より、$a_1\in A_1\cup A_2~$となるので、$y=f(a_1)\in f(A_1\cup A_2)~$である。
＜$y\in f(A_2)~$のとき＞
$y\in f(A_2)~$より、$y=f(a_2)~$となる$~a_2\in f(A_2)~$がある。
$a_2\in A_2~$より、$a_1\in A_1\cup A_2~$となるので、$y=f(a_2)\in f(A_1\cup A_2)~$である。
$(3)~$
$y\in f(A_1\cap A_2)~$とする。
このとき、$y=f(a)~$となる$~a\in A_1\cap A_2~$がある。
$a\in A_1\cap A_2~$より、$a\in A_1~$かつ$~a\in A_2~$である。
よって、$y=f(a)\in f(A_1)~$かつ$~y=f(a)\in f(A_2)~$となる。
したがって、$y\in f(A_1)\cap f(A_2)~$である。
$(4)~$
$y\in f(A_1)\setminus f(A_2)~$をとる。
このとき、$y\in f(A_1)~$かつ$~y\notin f(A_2)~$である。
$y\in f(A_1)~$より、$y=f(a_1)~$となる$~a_1\in A_1~$がある。
ここで、$f(a_1)=y\notin f(A_2)~$なので$~a_1\notin A_2~$となる。
$a_1\in A_1~$かつ$~a_1\notin A_2~$なので、$a_1\in A_1\setminus A_2~$である。
よって、$y=f(a_1)\in f(A_1\setminus A_2)~$となる。
$(1)~$
$B_1\subset B_2~$とし、$x\in f^{-1}(B_1)~$をとる。
このとき、$x\in X~$かつ$~f(x)\in B_1~$である。
$f(x)\in B_1~$と$~B_1\subset B_2~$より、$f(x)\in B_2~$となる。
よって、$x\in f^{-1}(B_2)~$である。
$(2)~$
$x\in f^{-1}(B_1\cup B_2)~$をとる。
このとき、$x\in X~$かつ$~f(x)\in B_1\cup B_2~$である。
＜$f(x)\in B_1~$のとき＞
このとき、$x\in f^{-1}(B_1)~$なので$~x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)~$となる。
＜$f(x)\in B_2~$のとき＞
このとき、$x\in f^{-1}(B_2)~$なので$~x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)~$となる。
$x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)~$をとる。
＜$x\in f^{-1}(B_1)~$のとき＞
このとき、$f(x)\in B_1~$なので$~f(x)\in B_1\cup B_2~$となる。
よって、$x\in f^{-1}(B_1\cup B_2)~$である。
＜$x\in f^{-1}(B_2)~$のとき＞
このとき、$f(x)\in B_2~$なので$~f(x)\in B_1\cup B_2~$となる。
よって、$x\in f^{-1}(B_1\cup B_2)~$である。
$(3)~$
$x\in f^{-1}(B_1\cap B_2)~$とする。
このとき、$f(x)\in B_1\cap B_2~$である。
$f(x)\in B_1~$かつ$~f(x)\in B_2~$より、$x\in f^{-1}(B_1)~$かつ$~x\in f^{-1}(B_2)~$となる。
よって、$x\in f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)~$なので、$f^{-1}(B_1\cap B_2)\subset f^{-1}(B_1)\cap
f^{-1}(B_2)~$である。
$x\in f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)~$とする。
このとき、$x\in f^{-1}(B_1)~$かつ$~x\in f^{-1}(B_2)~$なので、$x\in X~$かつ$~f(x)\in B_1~$かつ$~f(x)\in B_2~$である。
よって、$f(x)\in B_1\cap B_2~$となるので、$x\in f^{-1}(B_1\cap B_2)~$である。
したがって、$f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)\subset f^{-1}(B_1\cap B_2)~$となる。
$(4)~$
$x\in f^{-1}(B_1\setminus B_2)~$とする。
このとき、$x\in X~$かつ$~f(x)\in B_1\setminus B_2~$である。
$f(x)\in B_1\setminus B_2~$より、$f(x)\in B_1~$かつ$~f(x)\in B_2~$なので、$x\in f^{-1}(B_1)~$かつ$~x\in
f^{-1}(B_2)~$となる。
よって、$x\in f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)~$であり、$f^{-1}(B_1\setminus B_2)\subset f^{-1}(B_1)\setminus
f^{-1}(B_2)~$となる。
$x\in f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)~$をとる。
このとき、$x\in f^{-1}(B_1)~$かつ$~x\notin f^{-1}(B_2)~$である。
$f(x)\in f^{-1}(B_1)~$より$~f(x)\in B_1~$となる。
また、$x\notin f^{-1}(B_2)~$より$~f(x)\notin B_2~$である。
$f(x)\in B_1~$かつ$~f(x)\notin B_2~$なので、$f(x)\in B_1\setminus B_2~$である。
よって、$x\in f^{-1}(B_1\setminus B_2)~$となる。
したがって、$f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)\subset f^{-1}(B_1\setminus B_2)~$である。
$(1)~$
$x\in A~$とする。
このとき、$f(x)\in f(A)~$でありまた、$A\subset X~$より$~x\in X~$である。
よって、$x\in f^{-1}(f(A))~$となる。
$(2)~$
$y\in f(f^{-1}(B))~$とする。
このとき、$y=f(x)~$となる$~x\in f^{-1}(B)~$がある。
$x\in f^{-1}(B)~$より$~f(x)\in B~$である。
$y=f(x)~$なので$~y\in B~$となる。