実数　(8)実数の完備性

$\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$を任意にとる。
$0\lt\varepsilon~$より、$0\lt q\lt\varepsilon~$となる$~q\in\mathbb{Q}~$がとれる。
よって、仮定より となる。 よって、$\{a_n\}~$は$~\alpha~$に収束する。

$\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt}~$を任意にとる。
$\{a_n\}~$はCauchy列なので、ある$~N\in\mathbb{N}~$があり、 \begin{split} m,n\gt N&\Longrightarrow|a_m-a_n|\lt\frac{\varepsilon}{2}\\ &\Longrightarrow-\frac{\varepsilon}{2}\lt a_m-a_n\lt\frac{\varepsilon}{2}\\ &\Longrightarrow a_n-\frac{\varepsilon}{2}\lt a_m\lt a_n+\frac{\varepsilon}{2} \end{split} となる。 特に、$n\gt N~$を固定すると $$ m\gt N\Longrightarrow a_n-\frac{\varepsilon}{2}\lt a_m\lt a_n+\frac{\varepsilon}{2} $$ となっているので、補題10より $$ \left[a_n-\frac{\varepsilon}{2}\right]~\dot{\le}~[a_m]~\dot{\le}~\left[a_n+\frac{\varepsilon}{2}\right] $$ とできる。 (ここで変数は$~m~$のみである。 つまり、$a_n-\cfrac{\varepsilon}{2}~,~a_n+\cfrac{\varepsilon}{2}~$は定数と考えている。)
$[a_n]~\dot{+}~\left[-\cfrac{\varepsilon}{2}\right]~\dot{\le}~[a_m]~\dot{\le}~[a_n]~\dot{+}~\left[\cfrac{\varepsilon}{2}\right]~$とできるので $$ a_n-\frac{\varepsilon}{2}\le x\le a_n+\frac{\varepsilon}{2} $$ となる。
よって、 $$ n\gt N\Longrightarrow|a_n-x|\le\frac{\varepsilon}{2}\lt\varepsilon $$ となり、$\{a_n\}~$は$~x~$に収束する。

$\{x_n\}~$を$~\mathbb{R}~$のCauchy列とする。
各$~n\in\mathbb{N}~$について、$[a_{n,i}]\in R~$を用いて$~x_n=\psi([a_{n,i}])~$とおく。
補題18より有理数列$~\{a_{n,i}\}_{i\in\mathbb{N}}~$は$~x_n~$に収束する
有理数列$~\{b_n\}~$を$~b_n=a_{n,n}~$で定める。

任意に$~\eta\in\mathbb{Q}_{\gt}~$をとる。
$\{a_{n,i}\}_{i\in\mathbb{N}}~$は$~x_n~$に収束するので、ある$~N_0\in\mathbb{N}~$があり、 $$ n\gt N_0\Longrightarrow|b_n-x_n|=|a_{n,n}-x_n|\lt\frac{\eta}{3} $$ を満たす。
また、$\{x_n\}~$はCauchy列なので、ある$~N_1\in\mathbb{N}~$があり、 $$ m,n\gt N_1\Longrightarrow|x_m-x_n|\lt\frac{\eta}{3} $$ となる。 よって、$N_2=\max{\{N_0,N_1\}}~$とすると、 となるので、$\{b_n\}~$は$~\mathbb{Q}~$のCauchy列である。

$x=\psi([b_n])~$とし、$\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt}~$を任意にとる。
$\{a_{n,i}\}_{i\in\mathbb{N}}~$は$~x_n~$に収束するので、ある$~N_3\in\mathbb{N}~$があり、 $$ n\gt N_3\Longrightarrow|b_n-x_n|=|a_{n,n}-x_n|\lt\frac{\varepsilon}{2} $$ を満たす。
また、補題18より$~\{b_n\}~$は$~x~$に収束するので、ある$~N_4\in\mathbb{N}~$があり、 $$ n\gt N_4\Longrightarrow|b_n-x|\lt\frac{\varepsilon}{2} $$ が成り立つ。 よって、$N=\max{\{N_3,N_4\}}~$とすると、 \begin{split} n\gt N\Longrightarrow|x_n-x|&=|(x_n-b_n)+(b_n-x)|\\ &\le|b_n-x_n|+|b_n-x|\\ &\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{split} となる。 よって、$\{x_n\}~$は$~x~$に収束する。

$\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$を任意にとる。
$\{b_n-a_n\}~$が$~0~$に収束するので、ある$~N_0\in\mathbb{N}~$があり、 $$ n\gt N_0\Longrightarrow|b_n-a_n|\lt\varepsilon $$ が成り立つ。
$N_1\in\mathbb{N}~$を$~N_1\gt N_0~$となるようにとれば、 となるので、$\{a_n\}~$は$~\mathbb{R}~$のCauchy列である。
実数の完備性より$~\{a_n\}~$はある実数$~\alpha~$に収束する。
もし、$\alpha\lt a_{N_2}~$となる$~N_2\in\mathbb{N}~$があるとすれば、$c=a_{N_2}-\alpha\gt0~$とおくことで $$ n\gt N_2\Longrightarrow 0\lt c\le|a_n-\alpha| $$ となり、$\{a_n\}~$が$~\alpha~$に収束することに矛盾する。
よって、任意の$~n\in\mathbb{N}~$について$~a_n\le\alpha~$となる。
同様にして、$\{b_n\}~$がある実数$~\beta~$に収束し、任意の$~n\in\mathbb{N}~$に対して$~b_n\ge\beta~$となる。

$\alpha\neq\beta~$と仮定して矛盾を導く。
したがって、$\alpha=\beta~$である。
$\alpha=\beta=x~$をおくと、$\{a_n\},\{b_n\}~$はともに$~x~$に収束し、 $$ {}^{\forall}n\in\mathbb{N},a_n\le x\le b_n $$ が成り立つ。

実数$~x,y~$があり、任意の$~n\in\mathbb{N}~$について、 $$ a_n\le x\le b_n~かつ~a_n\le y\le b_n $$ を満たすとする。 このとき、 $$ |y-x|\lt|b_n-a_n| $$ となっている。 よって、任意の$~\varepsilon\in\mathbb{R}_{\gt}~$に対して$~|y-x|\lt\varepsilon~$となる。
$|y-x|\gt0~$と仮定すれば、$d=\cfrac{|y-x|}{2}~$とすると$~0\lt d\lt|y-x|~$となり矛盾する。
したがって、$x=y~$となる。
つまり、定理の主張する$~x~$は存在すれば一意である。