実数 (4)実数の順序関係
$R~$上の関係$\dot{\le}$を、
$x~\dot{\le}~y~$は$~y~\dot{\ge}~x~$とも書く。
$(1)~$ $a_n-a_n=0~$なので明らかに$~x~\dot{\le}~x~$である。
$(2)~$
$[a_n]~\dot{\le}~[b_n],[b_n]~\dot{\le}~[a_n]~$より、ある$~q,q'\in\{0\}\cap\mathbb{Q}_{\gt}~$と$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり、
\begin{align}
&n\ge N_1\Longrightarrow b_n-a_n\ge q\\
&n\ge N_2\Longrightarrow a_n-b_n\ge q'\Longrightarrow b_n-a_n\le -q'
\end{align}
を満たす。
$N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とする。
$q\ge0,-q'\le0~$であり、$q\le b_n-a_n\le -q'~(n\gt N)~$となっているので、
\[
n\ge N\Longrightarrow0\le b_n-a_n\le0
\]
となり$\le$の反対称性より、$b_n-a_n=0~(n\gt N)~$である。
よって、$[a_n]=[b_n]~$である。
$(3)~$ $[a_n]~\dot{\le}~[b_n],[b_n]~\dot{\le}~[c_n]~$より、ある$~q,q'\in\{0\}\cap\mathbb{Q}_{\gt}~$と$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり、 \begin{align} &n\ge N_1\Longrightarrow b_n-a_n\ge q\\ &n\ge N_2\Longrightarrow c_n-b_n\ge q' \end{align} を満たす。 $N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると、 \begin{align} n\ge N\Longrightarrow c_n-a_n&=(c_n-b_n)+(b_n-a_n)\\ &\ge q+q' \end{align}
$x~\dot{\le}~y~$かつ$~x\neq y~$のとき$~x~\dot{\lt }~y~$(または$~y~\dot{\gt}~x~$)と書く。
補題4より、次のうちどれかが成り立つ。
$(2)$が成り立つなら$~[a_n]~\dot{\lt}~[b_n]~$である。
$(3)$が成り立つなら$~[a_n]~\dot{\gt}~[b_n]~$である。
つまり、定理9より$~[a_n]~\dot{\le}~[b_n]~$となる。