実数 (2)疑似実数
有理数のCauchy列全体の集合$~\mathcal{C}~$上の同値関係$~\sim~$を
補題4の$(1)$は$~\{a_n\}\sim\{0\}~$であることを意味している。
$\{a_n\},\{b_n\}\in\mathcal{C}~$を任意にとり、$\{a_n\}\sim\{b_n\}~$とする。
\[ |a_n-b_n|=|b_n-a_n| \] なので、明らかに$~\{b_n\}\sim\{a_n\}~$となる。
$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\in\mathcal{C}~$を任意にとり、
$\{a_n\}\sim\{b_n\}~$かつ$~\{b_n\}\sim\{c_n\}~$とする。
任意に$~\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt}~$をとる。
仮定より、ある$~N_1,N_2~$が存在して \begin{align} &n\ge N_1\Longrightarrow|a_n-b_n|\lt\frac{\varepsilon}{2}\\ &n\ge N_2\Longrightarrow|b_n-c_n|\lt\frac{\varepsilon}{2} \end{align} が成り立つ。
$N:=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると \begin{align} n\ge N\Longrightarrow|a_n-c_n|&=|(a_n-b_n)+(b_n-c_n)|\\ &\le|a_n-b_n|+|b_n-c_n|\\ &\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon \end{align} となるので、$\{a_n\}\sim\{c_n\}~$である。
$\mathcal{C}~$を同値関係$\sim$で類別した商集合を$~R~$とおく。 \[ R:=\mathcal{C}/\sim \] この$~R~$の元を疑似実数と呼ぶことにする。
また、$\{a_n\}\in\mathcal{C}~$を代表元とする$~R~$の元を$~[a_n]~$と書くことにする。
つまり \[ R=\{[a_n]\mid \{a_n\}\in\mathcal{C}\} \]
$[a_n]=[a_n'],[b_n]=[b_n']~$のとき次が成り立つ。 \begin{align} (1)&~[a_n+b_n]=[a_n'+b_n']\\ (2)&~[a_nb_n]=[a_n'b_n'] \end{align}
$(1)~$
任意に$~\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt}~$をとる。
$[a_n]=[a_n'],[b_n]=[b_n']~$より、ある$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり
\begin{align}
&n\ge N_1\Longrightarrow|a_n-a_n'|\lt\frac{\varepsilon}{2}\\
&n\ge N_2\Longrightarrow|b_n-b_n'|\lt\frac{\varepsilon}{2}
\end{align}
となる。
$N:=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると
$(2)~$
$\{a_n\},\{b_n'\}\in\mathcal{C}~$なので補題2より、ある$~M_1,M_2\in\mathbb{Q}~$があり
\begin{align}
&{}^{\forall}n\in\mathbb{N},|a_n|\lt M_1\\
&{}^{\forall}n\in\mathbb{N},|b_n'|\lt M_2
\end{align}
となる。
任意に$~\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt}~$をとる。
$[a_n]=[a_n'],[b_n]=[b_n']~$より、ある$~N_1,N_2\in\mathbb{N}~$があり
\begin{align}
&n\ge N_1\Longrightarrow|a_n-a_n'|\lt\frac{\varepsilon}{2M_2}\\
&n\ge N_2\Longrightarrow|b_n-b_n'|\lt\frac{\varepsilon}{2M_1}
\end{align}
となる。
$N=\max{\{N_1,N_2\}}~$とすると
\begin{align}
n\ge N\Longrightarrow|a_n&b_n-a_n'b_n'|\\
&=|(a_nb_n-a_nb_n')+(a_nb_n'-a_n'b_n')|\\
&\lt|a_nb_n-a_nb_n'|+|a_nb_n'-a_n'b_n'|\\
&=|a_n|\cdot|b_n-b_n'|+|b_n'|\cdot|a_n-a_n'|\\
&\lt M_1\cdot\frac{\varepsilon}{2M_1}+M_2\cdot\frac{\varepsilon}{2M_2}=\varepsilon
\end{align}
となる。
ここで$~\{b_n\}~$を次のように定める。 \[ b_n:=\left\{ \begin{array}{l} 1 & (n\lt N)\\ \cfrac{1}{a_n} & (n\ge N) \end{array} \right. \] 任意に$~\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt}~$をとる。
$\{a_n\}\in\mathcal{C}~$なので、ある$~N'\in\mathbb{N}~$があり、 \[ m,n\ge N'\Longrightarrow|a_m-a_n|\lt (qq)\varepsilon \] となる。 $N'':=\max{\{N,N'\}}~$とすると、 \begin{align} m,n\ge N''\Longrightarrow|b_m-b_n|&=\left|\frac{1}{a_m}-\frac{1}{a_n}\right|\\ &=\left|\frac{a_n-a_m}{a_ma_n}\right|\\ &=\frac{|a_m-a_n|}{|a_m|\cdot|a_n|}\\ &\lt ((qq)\varepsilon)\cdot\left(\frac{1}{q}\cdot\frac{1}{q}\right)\\ &=\varepsilon\\ \end{align} となるので、$\{b_n\}~$はCauchy列である。
\begin{align} n\ge N&\Longrightarrow a_nb_n=1\\ &\Longrightarrow |(a_nb_n)-1|=0 \end{align} となるので、$[a_nb_n]=[1]~$である。