実数 (5)実数
写像$~\varphi:\mathbb{Q}\to R~$を \[ \varphi(q):=[q] \] となるように定める。
定理11
$\varphi~$は$~\mathbb{Q}~$から$~R~$への単射であり、加法、乗法、順序関係を保つ。つまり、すべての$~p,q\in\mathbb{Q}~$について次が成り立つ。 \begin{align} (1)&~\varphi(p+q)=\varphi(p)~\dot{+}~\varphi(q)\\ (2)&~\varphi(pq)=\varphi(p)~\dot{\times}~\varphi(q)\\ (3)&~p\le q\Longleftrightarrow\varphi(p)~\dot{\le}~\varphi(q) \end{align}
$p,q\in\mathbb{Q}~$を任意にとる。
$0\le|p-q|\lt\varepsilon~({}^{\forall}\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt})~$である。
$|p-q|\neq0~$と仮定すれば、有理数の稠密性(有理数.定理15)より、$0\lt r\lt|p-q|~$となる$~r\in\mathbb{Q}~$が存在する。
$r\gt0~$なので$~r\in\mathbb{Q}_{\gt}~$であるが、これは$|p-q|\lt\varepsilon~({}^{\forall}\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt})~$に矛盾する。
よって、$|p-q|=0~$である。 つまり、$p=q~$となり$~\varphi~$は単射である。
\begin{align}
\varphi(p)=\varphi(q)&\Longrightarrow[p]=[q]\\
&\Longrightarrow{}^{\forall}\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt},{}^{\exists}N\in\mathbb{N}~\text{s.t.}~{}^{\forall}n\in\mathbb{N},n\ge
N\Longrightarrow|p-q|\lt\varepsilon\\
&\Longleftrightarrow{}^{\forall}\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt},|p-q|\lt\varepsilon\\
\end{align}
となる。$0\le|p-q|\lt\varepsilon~({}^{\forall}\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt})~$である。
$|p-q|\neq0~$と仮定すれば、有理数の稠密性(有理数.定理15)より、$0\lt r\lt|p-q|~$となる$~r\in\mathbb{Q}~$が存在する。
$r\gt0~$なので$~r\in\mathbb{Q}_{\gt}~$であるが、これは$|p-q|\lt\varepsilon~({}^{\forall}\varepsilon\in\mathbb{Q}_{\gt})~$に矛盾する。
よって、$|p-q|=0~$である。 つまり、$p=q~$となり$~\varphi~$は単射である。
$(1),(2)~$ 定義より、 \begin{align} &\varphi(p+q)=[p+q]=[p]~\dot{+}~[q]=\varphi(p)~\dot{+}~\varphi(q)\\ &\varphi(pq)=[pq]=[p]~\dot{\times}~[q]=\varphi(p)~\dot{\times}~\varphi(q) \end{align} となるので、$\varphi~$は加法と乗法を保つ。
$(3)~$ $p\le q~$と仮定すると、補題10より$~[p]~\dot{\le}~[q]~$となる。
ここで$~\mathbb{Q}~$を包含する集合$~\mathbb{R}~$を全単射$~\psi:R\to\mathbb{R}~$により作る。
ただし、$\psi~$は $$ {}^{\forall}q\in\mathbb{Q},\psi([q])=q $$ を満たすものである。
明らかに$~\psi(\varphi(\mathbb{Q}))=\mathbb{Q}~$である。
この集合$~\mathbb{R}~$の元を実数という。