整数 (6)整数の性質
$\mathbb{Z}~$上の加法$+$、乗法$~\cdot~,\times$、順序関係$\le$を \begin{align} &m+n=\psi(\psi^{-1}(m)~\dot{+}~\psi^{-1}(n))\\ &m\cdot n=\psi(\psi^{-1}(m)~\dot{\times}~\psi^{-1}(n))\\ &m\le n\Longleftrightarrow\psi^{-1}(m)~\dot{\le}~\psi^{-1}(n) \end{align} となるように定める。
これらは$~m,n\in\mathbb{N}~$のときは$~\mathbb{N}~$上の$+,\cdot~(\times),\le$と一致する。
また、$m+(-n)~$を$~m-n~$を省略して書くことで、$\mathbb{Z}~$上の減法$-$を定める。
自然数のときと同様に、加法・減法より乗法の演算を優先するようにして、乗法演算子は(わかりにくい場合を除いて)省略する。
定義より、これまでに示してきた$~Z~$上の性質は$~\mathbb{Z}~$上でも成り立つことがわかる。
わかっている整数の性質の一部を以下に列挙する。
$(1)~$ $\mathbb{Z}~$は$+,\cdot~$によって整域になる。
$(2)~$ 任意の$~a,b\in\mathbb{Z}~$について、次が成り立つ。 \begin{align} (\mathrm{a})&~-(-a)=a\\ (\mathrm{b})&~a=-b\Longleftrightarrow b=-a\\ (\mathrm{c})&~-0=0 \end{align}
$(3)~$ 任意の$~a\in\mathbb{Z}~$に対しての命題$~P(a)~$があり、次が成り立っているとする。
$(4)~$ 任意の$~a,b,c\in\mathbb{Z}~$について、次が成り立つ。 \begin{align} (\mathrm{a})&~(-a)\cdot b=a\cdot(-b)=-(a\cdot b)\\ (\mathrm{b})&~(-a)\cdot(-b)=ab\\ (\mathrm{c})&~a(b-c)=ab-ac\\ (\mathrm{d})&~(a-b)c=ac-bc\\ (\mathrm{e})&~c\neq0~のとき~ac=bc\Longrightarrow a=b \end{align}
$(5)~$ $\le$は$~\mathbb{Z}~$上の全順序関係である。
$(6)~$ 任意の$~a,b,c\in\mathbb{Z}~$について、次が成り立つ。 \begin{align} (\mathrm{a})&~a\lt b~かつ~b\lt c\Longrightarrow a\lt c\\ (\mathrm{b})&~a\lt b\Longleftrightarrow a+c\lt b+c\\ (\mathrm{c})&~a\lt b\Longleftrightarrow-a\gt-b \end{align}
$(7)~$ 任意の$~a,b,c\in\mathbb{Z}~$について、次が成り立つ。 \begin{equation*} \begin{split} (\mathrm{a})&~c\gt0~ならば、& a\lt b\Longleftrightarrow ac\lt bc\\ (\mathrm{b})&~c\lt0~ならば、& a\lt b\Longleftrightarrow ac\gt bc\\ (\mathrm{c})&~b\gt0~ならば、& a\gt0\Longleftrightarrow ab\gt0\\ & & a\lt0\Longleftrightarrow ab\lt0\\ (\mathrm{d})&~b\lt0~ならば、& a\gt0\Longleftrightarrow ab\lt0\\ & & a\lt0\Longleftrightarrow ab\gt0 \end{split} \end{equation*}
$(8)~$ 任意の空でない部分集合$~S\subset Z~$について次が成り立つ。
また、より一般的に次が成り立つ。 \[ {}^{\forall}n\in\mathbb{Z},\lnot({}^{\exists}a\in\mathbb{Z},n\lt a\lt n+1) \]
$S=\mathbb{Z}_{\gt}=\{n\in\mathbb{Z}\mid0\lt n\}~$とする。
仮定から$~a\in S~$である。
このとき、定理20(8)(a)から$~S~$は最小元$~s\in S~$をもつ。
$a\in S~$と$~s~$の最小性から$~0\lt s\lt a\lt 1~$である。
$s\gt0~$と$~0\lt s~$と定理20(7)(a)から$~0\lt ss~$となる。
よって、$ss\in S~$である。
また、$s\gt0~$と$~s\lt1~$と定理20(7)(a)から$~ss\lt s~$となる。
しかし、これは$~s~$の最小性に矛盾する。
また、$n\in\mathbb{Z}~$を任意にとる。
$n\lt a\lt n+1~$となる$~a\in\mathbb{Z}~$が存在すれば \[ 0\lt a-n\lt 1 \] となるので、矛盾する。
$0\lt a\le b~$かつ$~0\lt c\lt d~$なら$~ac\lt bd~$となる。
また、$b\le a\lt 0~$かつ$~d\lt c\lt 0~$なら$~ac\lt bd~$となる。
$a=b~$のときは、定理20(7)(a)から$~ac\lt ad=bd~$である。
$a\lt b~$とする。
$a\lt b,0\lt c~$より$~ac\lt bc~$である。
また、$c\lt d,0\lt b~$より$~bc\lt bd~$である。
したがって、$ac\lt bd~$となる。
また、$b\le a\lt0,d\lt c\lt0~$とする。
このとき、$0\lt-a\le-b,0\lt-c\lt-d~$である。
したがって \[ ac = (-a)(-c) \lt (-b)(-d) = bd \] となる。
$a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}~$を単元とする。
このとき、$aa'=1~$となる$~a'\in\mathbb{Z}~$がとれる。
＜$0\lt a~$のとき＞
定理21より$~1\le a~$である。
$a'\le0~$とすると、定理20(7)(b)より$~aa'\le0~$である。
しかし、これは$~aa'=1\gt0~$に矛盾する。
よって、$a'\gt0~$である。
また、$a'\gt1~$とすると、補題22より$~aa'\gt1~$となる。
これは$~aa'=1~$に矛盾するので$~a'\le1~$である。
$0\lt a'\le1~$と定理21より$~a'=1~$である。
したがって、$a=a\cdot1=aa'=1~$となる。
＜$a\lt0~$のとき＞
定理21より$~a\le-1~$である。
$a'\ge0~$とすると、定理20(7)(b)より$~aa'\le0~$である。
しかし、これは$~aa'=1\gt0~$に矛盾する。
よって、$a'\lt0~$である。
また、$a'\lt-1~$とすると、補題22より$~aa'\gt1~$となる。
これは$~aa'=1~$に矛盾するので$~a'\ge1~$である。
$-1\le a'\lt0~$と定理21より$~a'=-1~$である。
したがって、$a=a\cdot1=a(-a')=-1~$となる。