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整数　(1)疑似整数

　直積$~\mathbb{N}\times\mathbb{N}~$上の関係$\sim$を \[ (m,n)\sim(m',n')\Longleftrightarrow m+n'=m'+n \] となるように定める。

命題1
$\sim$は$~\mathbb{N}\times\mathbb{N}~$上の同値関係である。

任意の$~(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}~$について、明らかに \[ m+n=m+n \] なので、$(m,n)\sim(m,n)~$となる。

$(m,n),(m',n')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}~$を任意にとり、$(m,n)\sim(m',n')~$とする。
\[ m+n'=m'+n \] となっているので、$m'+n=m+n'~$が成り立つ。
よって、$(m',n')\sim(m,n)~$となる。

$(m,n),(m',n'),(m'',n'')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}~$を任意にとり、
$(m,n)\sim(m',n')~$かつ$~(m',n')\sim(m'',n'')~$とする。
\begin{align} &m+n'=m'+n\\ &m'+n''=m''+n' \end{align} が成り立っているので、両辺を足して \[ (m+n')+(m'+n'')=(m'+n)+(m''+n') \] となり、加法の可換性と簡約性から \[ m+n''=m''+n \] となる。 よって、$(m,n)\sim(m'',n'')~$となる。
$$\square$$


　$\mathbb{N}\times\mathbb{N}~$を同値関係$\sim$で類別した商集合を$~Z~$とおく。 \[ Z:=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim \] この$~Z~$の元を疑似整数ということにする。
また、$(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}~$を代表元とする$~Z~$の元を$~[m,n]~$と書くことにする。
つまり、 \[ Z=\{[m,n]\mid m,n\in\mathbb{N}\} \] このとき、任意の$~m,n,m',n'\in\mathbb{N}~$に対して次が成り立つ。 \begin{align} [m,n]=[m',n']&\Longleftrightarrow(m,n)\sim(m',n')\\ &\Longleftrightarrow m+n'=m'+n \end{align}
補題2
任意の$~m,n,k\in\mathbb{N}~$に対して、次が成り立つ。 \begin{align} (1)&~[m,m]=[n,n]\\ (2)&~[m+k,n+k]=[m,n]\\ (3)&~[m+n,n]=[m+k,k] \end{align}

$(1)~$ 加法の可換性から、$m+n=n+m~$となる。

$(2)~$ 加法の結合性と可換性から、$(m+k)+n=m+(n+k)~$となる。

$(3)~$ 加法の結合性と可換性から、$(m+n)+k=(m+k)+n~$となる。

$$\square$$

(1)疑似整数