整数　(2)疑似整数の加法

任意の元$~s\in\mathbb{N}~$に対し、補題2(2)より \begin{align} &[m,n]~\dot{+}~[s,s]=[m+s,n+s]=[m,n]\\ &[s,s]~\dot{+}~[m,n]=[s+m,s+n]=[m,n] \end{align} となるので$~[s,s]~$は$~\dot{+}~$における単位元である。

自然数の加法の可換性から \begin{align} [m,n]~\dot{+}~[m',n']&=[m+m',n+n']\\ &=[m'+m,n'+n]\\ &=[m',n']~\dot{+}~[m,n] \end{align} となるので、$\dot{+}~$は可換性をもつ。

自然数の加法の結合性から \begin{align} ([m,n]&~\dot{+}~[m',n'])~\dot{+}~[m'',n'']\\ &=[m+m',n+n']~\dot{+}~[m'',n'']\\ &=[(m+m')+m'',(n+n')+n'']\\ &=[m+(m'+m''),n+(n'+n'')]\\ &=[m,n]~\dot{+}~[m'+m'',n'+n'']\\ &=[m,n]~\dot{+}~([m',n']~\dot{+}~[m'',n'']) \end{align} となるので、$\dot{+}~$は結合性をもつ。

任意の元$~(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}~$について、 \begin{align} [m,n]~\dot{+}~[n,m]&=[m+n,n+m]\\ &=[m+n,m+n] \end{align} となり、これは単位元である。
よって、$[n,m]~$は$~\dot{+}~$における$~[m,n]~$の逆元である。

$(1)~$ $a+(-a)=(-a)+a=0~$なので、$a=-(-a)~$となる。

$(2)~$ $a=-b~$とすれば、$(1)$より$~b=-(-b)=-a~$となる。
逆に、$b=-a~$とすれば、$(1)$より$~a=-(-a)=-b~$となる。

$(3)~$ $\dot{0}~\dot{+}~\dot{0}=\dot{0}~$なので、$\dot{0}~$の$~\dot{+}~$における逆元は$~\dot{0}~$自身である。

$m_0,n_0\in\mathbb{N}~$を用いて$~a_0=[m_0,n_0]~$とおく。
$[m_0+0,n_0]=[m_0,n_0]~$なので$~P([m_0+0,n_0])~$は正しい。
$~P([m_0+k,n_0])~$が正しいとすると、$(2)$より$~P([(m_0+k)+1,n_0])~$も正しい。
つまり、$P([m_0+(k+1),n_0])~$は正しい。
よって、すべての自然数$~k~$について$~P([m_0+k,n_0])~$は正しい。
同様にして、すべての自然数$~l~$について$~P([m_0,n_0+l])~$は正しい。

任意の$~a\in Z~$ととると、ある$~m,n\in\mathbb{N}~$を用いて$~a=[m,n]~$と表される。
したがって、任意の$~a\in Z~$について$~P(a)~$は正しい。