環論 (7)イデアルの演算
命題12
$A~$を環$~B~$の部分環、$~I\subset B~$を$~B~$の左イデアルとする。このとき、$I\cap A~$は$~A~$の左イデアルである。
$A,I~$は$~B~$の加法に関して部分群なので、$I\cap A~$は$~B~$の加法に関して部分群である。
$a\in A,x\in I\cap A~$とする。
このとき、$A~$は環なので$~ax\in A~$である。
また、$a\in B~$であり$~I~$は$~B~$の左イデアルなので、$ax\in I~$となる。
よって、$ax\in I\cap A~$である。
したがって、$I\cap A~$は$~A~$の左イデアルである。
$$\square$$
$a\in A,x\in I\cap A~$とする。
このとき、$A~$は環なので$~ax\in A~$である。
また、$a\in B~$であり$~I~$は$~B~$の左イデアルなので、$ax\in I~$となる。
よって、$ax\in I\cap A~$である。
したがって、$I\cap A~$は$~A~$の左イデアルである。
$A~$を環、$I,J\subset A~$を左イデアルとする。
$I+J=\{x+y\mid x\in I,y\in J\}~$と定義して、左イデアル$~I,J~$の和という。
$\{xy\mid x\in I,y\in J\}~$から生成された左イデアルを$~IJ~$とし、左イデアル$~I,J~$の積という。
命題13
$A~$を可換環、$I,J\subset A~$を左イデアルとする。このとき、$I\cap J,I+J,IJ~$は$~A~$の左イデアルである。
$0\in I,J~$なので、$0\in I\cap J~$であり$~I\cap J\neq\emptyset~$となる。
$x,y\in I\cap J,a\in A~$を任意にとる。
このとき、$x,y\in I,a\in A~$なので、$x+y\in I,ax\in I~$である。
また、$x+y\in J,ax\in J~$もわかるので、$x+y\in I\cap J,ax\in I\cap J~$となる。
よって、$I\cap J~$は$~A~$の左イデアルである。
$x,y\in I+J,a\in A~$を任意にとる。
このとき、$x_1,y_1\in I,x_2,y_2\in J~$があり、$x=x_1+x_2,y=y_1+y_2~$となっている。
\begin{align} x+y&=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\ &=(x_1+y_1)+(x_2+y_2) \end{align} \[ ax=a(x_1+x_2)=ax_1+ax_2 \] となるので、$x+y,ax\in I+J~$である。
よって、$I+J~$は$~A~$の左イデアルとなる。
$IJ~$が左イデアルであることは言うまでもない。
$$\square$$
$x,y\in I\cap J,a\in A~$を任意にとる。
このとき、$x,y\in I,a\in A~$なので、$x+y\in I,ax\in I~$である。
また、$x+y\in J,ax\in J~$もわかるので、$x+y\in I\cap J,ax\in I\cap J~$となる。
よって、$I\cap J~$は$~A~$の左イデアルである。
$x,y\in I+J,a\in A~$を任意にとる。
このとき、$x_1,y_1\in I,x_2,y_2\in J~$があり、$x=x_1+x_2,y=y_1+y_2~$となっている。
\begin{align} x+y&=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\ &=(x_1+y_1)+(x_2+y_2) \end{align} \[ ax=a(x_1+x_2)=ax_1+ax_2 \] となるので、$x+y,ax\in I+J~$である。
よって、$I+J~$は$~A~$の左イデアルとなる。
$IJ~$が左イデアルであることは言うまでもない。
これらの演算とその性質は右イデアル、両側イデアルにつても同様に定義・証明できる。