環論 (4)環の準同型
$A,B~$を環、$\varphi:A\to B~$を写像とする。 \begin{align} (1)&~{}^{\forall}a,a'\in A,\varphi(a+a')=\varphi(a)+\varphi(a')\\ (2)&~{}^{\forall}a,a'\in A,\varphi(aa')=\varphi(a)\varphi(a')\\ (3)&~\varphi(1_A)=1_B \end{align} を満たすとき、$\varphi~$を(環の)準同型写像(または単に準同型)という。
また、準同型写像$~\varphi~$が全単射で、その逆写像$~\varphi^{-1}~$も準同型写像であるとき、$\varphi~$を(環の)同型写像(または単に同型)という。
同型写像$~A\to B~$が存在するとき、$A~$と$~B~$は同型であるといい、$A\simeq B~$と書く。
このとき、次が成り立つ。 \begin{align} (1)&~\varphi,\psiが準同型なら\psi\circ\varphi:A\to Cも準同型\\ (2)&~\varphi,\psiが同型なら\psi\circ\varphi:A\to Cも同型 \end{align}
$(1)~$ $a,a'\in A~$を任意にとる。 このとき、 \begin{split} (\psi\circ\varphi)(a+a')&=\psi(\varphi(a+a'))\\ &=\psi(\varphi(a)+\varphi(a'))\\ &=\psi(\varphi(a))+\psi(\varphi(a'))\\ &=(\psi\circ\varphi)(a)+(\psi\circ\varphi)(a') \end{split} \begin{split} (\psi\circ\varphi)(aa')&=\psi(\varphi(aa'))\\ &=\psi(\varphi(a)\varphi(a'))\\ &=\psi(\varphi(a))\psi(\varphi(a'))\\ &=(\psi\circ\varphi)(a)(\psi\circ\varphi)(a') \end{split} $$ (\psi\circ\varphi)(1_A)=\psi(\varphi(1_A))=\psi(1_B)=1_C $$ となるので、$\psi\circ\varphi:A\to C~$は準同型である。
$(2)~$
$\varphi,\psi~$が全単射準同型なので、$\psi\circ\varphi~$も全単射準同型である。
また、$(\psi\circ\varphi)^{-1}=\varphi^{-1}\circ\psi^{-1}~$であり、$\varphi^{-1},\psi^{-1}~$が準同型なので、$(\psi\circ\varphi)^{-1}~$も準同型である。
よって、$\psi\circ\varphi:A\to C~$は同型となる。
$b,b'\in B~$に対して、 \begin{split} \varphi^{-1}(b+b')&=\varphi^{-1}(\varphi(\varphi^{-1}(b))+\varphi(\varphi^{-1}(b')))\\ &=\varphi^{-1}(\varphi(\varphi^{-1}(b)+\varphi^{-1}(b)))\\ &=\varphi^{-1}(b)+\varphi^{-1}(b') \end{split} \begin{split} \varphi^{-1}(bb')&=\varphi^{-1}(\varphi(\varphi^{-1}(b))\varphi(\varphi^{-1}(b')))\\ &=\varphi^{-1}(\varphi(\varphi^{-1}(b)\varphi^{-1}(b)))\\ &=\varphi^{-1}(b)\varphi^{-1}(b') \end{split} $$ \varphi^{-1}(1_B)=\varphi^{-1}(\varphi(1_A))=1_A $$ となるので、$\varphi^{-1}:B\to A~$は準同型である。
よって、$\varphi~$は同型である。
逆は明らかである。
環$~A~$から自身への準同型・同型を自己準同型・自己同型という。
環$~A~$の自己同型全体の集合を$~\mathop{\mathrm{Aut}^\mathrm{al}}\nolimits A~$と書く。
命題4より、写像の合成によって$~\mathop{\mathrm{Aut}^\mathrm{al}}\nolimits A~$上の演算が定義できる。
この演算により$~\mathop{\mathrm{Aut}^\mathrm{al}}\nolimits A~$は群になる。
この群$~\mathop{\mathrm{Aut}^\mathrm{al}}\nolimits A~$を$~A~$の自己同型群という。
$A,B~$を環、$\varphi:A\to B~$を準同型とするとき、 \begin{align} &\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=\{a\in A\mid\varphi(a)=0_B\}\\ &\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi=\{\varphi(a)\mid a\in A\} \end{align} と定義して、それぞれ$~\varphi~$の核(kernel)、像(image)という。
このとき、$\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$は$~B~$の部分環である。
$b,b'\in\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$をとり、$\varphi(a)=b,\varphi(a')=b'~$とする。
このとき、 $$ bb'=\varphi(a)\varphi(a')=\varphi(aa') $$ となるので、$bb'\in\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$である。
また、$\varphi(1_A)=1_B~$なので、$1_B\in\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$である。
よって、$\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits\varphi~$は$~B~$の部分環である。
$(1)\Rightarrow(2)$
$\varphi:A\to B~$はそれぞれの加法について、群の準同型なので、$\varphi(0_A)=0_B~$である。
$a\in A~$に対して、$\varphi(a)=0_B=\varphi(0_A)~$なら、$\varphi~$は単射なので$~a=0_A~$である。
よって、$\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=\{0_A\}~$となる。
$(2)\Rightarrow(1)$
$a,a'\in A~$で$~\varphi(a)=\varphi(a')~$なら、
$\varphi(a-a')=\varphi(a)-\varphi(a')=0_B~$なので、
$a-a'\in\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\varphi=\{0_A\}~$である。
よって、$a=a'~$となり$~\varphi~$は単射である。