環論 (1)環とは
環の公理
空でない集合$~A~$が環であるとは、$A~$上に2つの演算$+,\cdot~$が定義されていて、以下の条件を満たすときにいう。 \begin{align} (\mathrm{R}1)&~{}^{\exists}0\in A~\mathrm{s.t.}~{}^{\forall}a\in A,a+0=0+a=a\\ (\mathrm{R}2)&~{}^{\forall}a\in A,{}^{\exists}b\in A~\mathrm{s.t.}~a+b=b+a=0\\ (\mathrm{R}3)&~{}^{\forall}a,b,c\in A,(a+b)+c=a+(b+c)\\ (\mathrm{R}4)&~{}^{\forall}a,b\in A,a+b=b+a\\ \end{align} \begin{align} (\mathrm{R}5)&~{}^{\exists}1\in A~\mathrm{s.t.}~{}^{\forall}a\in A,a\cdot1=1\cdot a=a\\ (\mathrm{R}6)&~{}^{\forall}a,b,c\in A,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\\ \end{align} \begin{align} (\mathrm{R}7)&~{}^{\forall}a,b,c\in A,a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (\mathrm{R}8)&~{}^{\forall}a,b,c\in A,(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c) \end{align} $(\mathrm{R}1)$-$(\mathrm{R}4)$は$~A~$が$+$について可換群であることを意味する。
$(\mathrm{R}5),(\mathrm{R}6)$は$~A~$が$~\cdot~$についてモノイドであることを意味する。
$(\mathrm{R}7),(\mathrm{R}8)$は分配法則と呼ばれる性質である。
$+$を加法、$\cdot~$を乗法と呼ぶことが多い。
乗法の演算子$~\cdot~$は省略して書かれることが多く、乗法の方が加法よりも優先して計算するのが普通である。
$(\mathrm{R}1)$や$(\mathrm{R}5)$における$~0~$や$~1~$は加法単位元、乗法単位元であり、数としての"$0,1$"とは関係ない。
どの環の単位元なのかを明示したいときは$~0_A~,~1_A~$と書かれる。
$(\mathrm{R}2)$における$~b~$のことを$~a~$の加法逆元といい、$b=-a~$で表す。
また、加法逆元$~-a~$を足すこと$~c+(-a)~$を$~c-a~$と省略して書く。
群のときと同様、結合法則($(\mathrm{R}3),(\mathrm{R}6)$)が成り立つため、複数の同演算で括弧は用いないことにする。
環$~A~$に対して、演算$~+,\cdot~$を明示したいときは環$~(A,+,\cdot~)~$と書く。
可換環
環$~A~$が乗法について可換性を持つ、つまり $$ {}^{\forall}a,b\in A,ab=ba $$ を満たすとき、環$~A~$は可換環であるという。可換でない環は非可換環という。
自明な環
$A~$が環なら、任意の$~a\in A~$に対して、 \begin{split} a\cdot0&=a\cdot0+0\\ &=a\cdot0+(a\cdot0-a\cdot0)\\ &=(a\cdot0+a\cdot0)-a\cdot0\\ &=a(0+0)-a\cdot0\\ &=a\cdot0-a\cdot0\\ &=0 \end{split} となる。同様に$~0\cdot a=0~$もわかる。
よって、$1=0~$なら、任意の$~a\in A~$に対して、 $$ a=a\cdot1=a\cdot0=0 $$ となるので、$A~$には$~0~$以外の元が存在しない。
このような環$~\{0\}~$を零環または自明な環という。
以降、零環を考察対象から除外することにする。
つまり、以後$~1\neq0~$と仮定する。