環論 (3)部分環
環$~A~$の部分集合$~B~$が$~A~$の加法と乗法により環になり、$1_A\in B~$となるとき、$B~$を$~A~$の部分環、$A~$を$~B~$の拡大環という。
$B~$は$~A~$上の加法・乗法について環なので、$(1),(2)$は明らかに満たしている。
また、部分環の定義より、$1_A\in B~$となり$(3)$を満たす。
逆に$(1)$-$(3)$が成り立っているとする。
$(1),(2)$より$~B~$には加法と乗法が定義されている。
その加法・乗法は環$~A~$の演算なので、結合法則・分配法則が成り立つ。
これらはもちろん$~B~$上でも成り立つ。
$(1)$より$~B~$は加法について可換群であり、$(3)$より$~B~$は乗法単位元を持つ。
したがって、$B~$は$~A~$の加法と乗法により環となっている。
これと$(3)$より、$B~$は$~A~$の部分環である。
$(1)~$
$A~$を環、$\mathcal{A}~$を$~A~$の部分環からなる集合とする。
このとき、$\displaystyle B=\bigcap\mathcal{A}~$も$~A~$の部分環である。
$(2)~$ $B~$が環$~A~$の部分環で、$C~$が$~B~$の部分環であるとき、$C~$は$~A~$の部分環である。
$(1)~$
各$~C\in\mathcal{A}~$は$~A~$の部分環なので、命題2の$(1)$-$(3)$を満たしている。
${}^{\forall}C\in\mathcal{A},0_A\in C~$なので、$0_A\in B~$である。
また、
\begin{split}
a,b\in B&\Longrightarrow{}^{\forall}C\in\mathcal{A},a,b\in C\\
&\Longrightarrow{}^{\forall}C\in\mathcal{A},a+b\in C\\
&\Longrightarrow a+b\in B
\end{split}
\begin{split}
a\in B&\Longrightarrow{}^{\forall}C\in\mathcal{A},a\in C\\
&\Longrightarrow{}^{\forall}C\in\mathcal{A},-a\in C\\
&\Longrightarrow -a\in B
\end{split}
となるので、$B~$は加法について$~A~$の部分群である。
\begin{split}
a,b\in B&\Longrightarrow{}^{\forall}C\in\mathcal{A},a,b\in C\\
&\Longrightarrow{}^{\forall}C\in\mathcal{A},ab\in C\\
&\Longrightarrow ab\in B
\end{split}
${}^{\forall}C\in\mathcal{A},1_A\in C~$なので、$1_A\in B~$である。
したがって、$B~$は$~A~$の部分環となる。
$(2)~$
仮定より、$A,B,C~$には同じ加法と乗法が定義されており、次が成り立っている。
\begin{split}
(\mathrm{i})~&Bは加法についてAの部分群である\\
(\mathrm{ii})~&{}^{\forall}b,b'\in B,bb'\in B\\
(\mathrm{iii})~&1_A\in B
\end{split}
\begin{split}
(\mathrm{i})'~&Cは加法についてBの部分群である\\
(\mathrm{ii})'~&{}^{\forall}c,c'\in C,cc'\in C\\
(\mathrm{iii})'~&1_B\in C
\end{split}
$(\mathrm{i}),(\mathrm{i})'$より、$C~$は加法について$~A~$の部分群である。
$(\mathrm{ii})'$より、${}^{\forall}c,c'\in C,cc'\in C~$となっている。
$1_A=1_B~$であり、$(\mathrm{iii}),(\mathrm{iii})'$より、$1_A\in C~$となる。
よって、$C~$は$~A~$の部分環である。