有理数 (6)有理数の性質
$\mathbb{Q}~$上の加法$+$、乗法$~\cdot~,\times$、順序関係$\le$を \begin{align} &p+q=\psi(\psi^{-1}(p)~\dot{+}~\psi^{-1}(q))\\ &p\cdot q=\psi(\psi^{-1}(p)~\dot{\times}~\psi^{-1}(q))\\ &p\le q\Longleftrightarrow\psi^{-1}(p)~\dot{\le}~\psi^{-1}(q) \end{align} となるように定める。
これらは$~p,q\in\mathbb{Z}~$のときは$~\mathbb{Z}~$上の$+,\cdot~(\times),\le$と一致する。
また、$p+(-q)~$を$~p-q~$を省略して書くことで、$\mathbb{Q}~$上の減法$-$を定める。
また、$a,b\in\mathbb{Z}^*~$に対して、$\dfrac{a}{b}~$の乗法逆元は \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a} \] となる。 特に、$a^{-1}=\dfrac{1}{a}~$である。
$\mathbb{Q}~$上で乗法逆元をかけるという操作を有理数の除法という。
自然数のときと同様に、加法・減法より乗法の演算を優先するようにして、乗法演算子は(わかりにくい場合を除いて)省略する。
定義より、これまでに示してきた$~Q~$上の性質は$~\mathbb{Q}~$上でも成り立つことがわかる。
わかっている有理数の性質の一部を以下に列挙する。
$(1)~$ $\mathbb{Q}~$は$+,\cdot~$によって体になる。
$(2)~$ 任意の$~p,q\in\mathbb{Q}~$について、次が成り立つ。 \begin{align} (\mathrm{a})&~-(-p)=p\\ (\mathrm{b})&~p=-q\Longleftrightarrow q=-p\\ (\mathrm{c})&~-0=0 \end{align}
$(3)~$ 任意の$~p,q,r\in\mathbb{Q}~$について、次が成り立つ。 \begin{align} (\mathrm{a})&~(-p)\cdot q=p\cdot(-q)=-(p\cdot q)\\ (\mathrm{b})&~(-p)\cdot(-q)=pq\\ (\mathrm{c})&~p(q-r)=pq-pr\\ (\mathrm{d})&~(p-q)r=pr-qr\\ (\mathrm{e})&~r\neq0~のとき~pr=qr\Longrightarrow p=q \end{align}
$(4)~$ $\le$は$~\mathbb{Q}~$上の全順序関係である。
$(5)~$ 任意の$~p,q,r\in\mathbb{Q}~$について、次が成り立つ。 \begin{align} (\mathrm{a})&~p\lt q~かつ~q\lt r\Longrightarrow p\lt r\\ (\mathrm{b})&~p\lt q\Longleftrightarrow p+r\lt q+r\\ (\mathrm{c})&~r\gt0~なら~p\lt q\Longleftrightarrow pr\lt qr\\ (\mathrm{d})&~p\lt q\Longleftrightarrow-p\gt-q\\ (\mathrm{e})&~p,q\neq0~のとき~p\lt q\Longleftrightarrow\frac{1}{p}\gt\frac{1}{q} \end{align}
$(6)~$
任意の$~p,q\in\mathbb{Q}~$について、$p\lt q~$とするとき$~p\lt r\lt q~$となる$~r\in\mathbb{Q}~$が存在する。
(有理数の稠密性)