有理数 (2)疑似有理数の加法
$Q~$上の演算$~\dot{+}~$を次のように定める。 \[ [n,a]~\dot{+}~[n',a']=[na'+n'a,aa'] \] $m,m',n,n'\in\mathbb{Z},a,a',b,b'\in\mathbb{Z}^*~$に対して、 \begin{align} [m,a]&=[m',a']~,~[n,b]=[n',b']\\ &\Longrightarrow ma'=m'a~,~nb'=n'b\\ &\Longrightarrow(ma')(bb')+(nb')(aa')\\ &~~~~~~~~~~~~~~=(m'a)(bb')+(n'b)(aa')\\ &\Longrightarrow(mb+na)(a'b')=(m'b'+n'a')(ab)\\ &\Longrightarrow[mb+na,ab]=[m'b'+n'a',a'b'] \end{align} とできるので、この定義はwell-definedである。
定理3
$Q~$は$~\dot{+}~$によって可換群になる。
任意の元$~s\in\mathbb{Z}^*~$に対し、補題2(2)より
\begin{align}
[n,a]~\dot{+}~[0,s]&=[ns+(0\cdot a),as]\\
&=[ns,as]\\
&=[n,a]\\
\end{align}
\begin{align}
[0,s]~\dot{+}~[n,a]&=[sn+(a\cdot 0),sa]\\
&=[sn,sa]\\
&=[n,a]
\end{align}
となるので$~[0,s]~$は$~\dot{+}~$における単位元である。
整数の加法と乗法の可換性から \begin{align} [n,a]~\dot{+}~[n',a']&=[ma'+m'a,aa']\\ &=[m'a+ma',a'a]\\ &=[n',a']~\dot{+}~[n,a] \end{align} となるので、$\dot{+}~$は可換性をもつ。
整数の加法と乗法の性質から \begin{align} ([n,a]~&\dot{+}~[n',a'])~\dot{+}~[n'',a'']\\ &=[na'+n'a,aa']~\dot{+}~[n'',a'']\\ &=[(na'+n'a)a''+n''(aa'),(aa')a'']\\ &=[n(a'a'')+(n'a''+n''a')a,a(a'a'')]\\ &=[n,a]~\dot{+}~[n'a''+n''a',a'a'']\\ &=[n,a]~\dot{+}~([n',a']~\dot{+}~[n'',a'']) \end{align} となるので、$\dot{+}~$は結合性をもつ。
任意の元$~(n,a)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*~$について、 \begin{align} [n,a]~\dot{+}~[-n,a]&=[na+((-n)\cdot a),aa]\\ &=[na-na,aa]\\ &=[0,aa] \end{align} となり、これは単位元である。
よって、$[-n,a]~$は$~\dot{+}~$における$~[n,a]~$の逆元である。
$$\square$$
整数の加法と乗法の可換性から \begin{align} [n,a]~\dot{+}~[n',a']&=[ma'+m'a,aa']\\ &=[m'a+ma',a'a]\\ &=[n',a']~\dot{+}~[n,a] \end{align} となるので、$\dot{+}~$は可換性をもつ。
整数の加法と乗法の性質から \begin{align} ([n,a]~&\dot{+}~[n',a'])~\dot{+}~[n'',a'']\\ &=[na'+n'a,aa']~\dot{+}~[n'',a'']\\ &=[(na'+n'a)a''+n''(aa'),(aa')a'']\\ &=[n(a'a'')+(n'a''+n''a')a,a(a'a'')]\\ &=[n,a]~\dot{+}~[n'a''+n''a',a'a'']\\ &=[n,a]~\dot{+}~([n',a']~\dot{+}~[n'',a'']) \end{align} となるので、$\dot{+}~$は結合性をもつ。
任意の元$~(n,a)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*~$について、 \begin{align} [n,a]~\dot{+}~[-n,a]&=[na+((-n)\cdot a),aa]\\ &=[na-na,aa]\\ &=[0,aa] \end{align} となり、これは単位元である。
よって、$[-n,a]~$は$~\dot{+}~$における$~[n,a]~$の逆元である。
$p~\dot{+}(\dot{-}q)~$を$~p~\dot{-}~q~$と省略して書く。 また、$Q~$の$~\dot{+}~$における単位元を$~\dot{0}~$とする。
命題4
任意の$~p,q\in Q~$に対して、次が成り立つ。
\begin{align}
(1)&~\dot{-}(\dot{-}q)=q\\
(2)&~p=\dot{-}q\Longleftrightarrow q=\dot{-}p\\
(3)&~\dot{-}\dot{0}=\dot{0}
\end{align}
$(1)~$ $q+(\dot{-}q)=(\dot{-}q)+q=0~$なので、$q=\dot{-}(\dot{-}q)~$となる。
$(2)~$
$p=\dot{-}q~$とすれば、$(1)$より$~q=\dot{-}(\dot{-}q)=\dot{-}p~$となる。
逆に、$q=\dot{-}p~$とすれば、$(1)$より$~p=\dot{-}(\dot{-}p)=\dot{-}q~$となる。
$(3)~$ $\dot{0}~\dot{+}~\dot{0}=\dot{0}~$なので、$\dot{0}~$の$~\dot{+}~$における逆元は$~\dot{0}~$自身である。