有理数　(3)疑似有理数の乗法

任意の元$~s\in\mathbb{Z}^*~$に対し、補題2(2)より \begin{align} &[n,a]~\dot{\times}~[s,s]=[ns,as]=[n,a]\\ &[s,s]~\dot{\times}~[n,a]=[sn,sa]=[n,a] \end{align} となるので$~[s,s]~$は$~\dot{\times}~$における単位元である。

整数の乗法の可換性から \begin{align} [n,a]~\dot{\times}~[n',a']&=[nn',aa']\\ &=[n'n,a'a]\\ &=[n',a']~\dot{\times}~[n,a] \end{align} となるので、$\dot{\times}~$は可換性をもつ。

整数の乗法の結合性から \begin{align} ([n,a]~\dot{\times}~[n'&,a'])~\dot{\times}~[n'',a'']\\ &=[nn',aa']~\dot{\times}~[n'',a'']\\ &=[(nn')n'',(aa')a'']\\ &=[n(n'n''),a(a'a'')]\\ &=[n,a]~\dot{\times}~[n'n'',a'a'']\\ &=[n,a]~\dot{\times}~([n',a']~\dot{\times}~[n'',a'']) \end{align} となるので、$\dot{\times}~$は結合性をもつ。

$\dot{0}~$は任意の$~s\in\mathbb{Z}^*~$を用いて、$\dot{0}=[0,s]~$と表される。
$n\in\mathbb{Z},a\in\mathbb{Z}^*~$を用いて$~q=[n,a]~$とおくと、 \begin{align} &[n,a]~\dot{\times}~[0,s]=[n\cdot0,as]=[0,as]=\dot{0}\\ &[0,s]~\dot{\times}~[n,a]=[0n,sa]=[0,sa]=\dot{0} \end{align} となる。

$(1)~$ $n,n',n''\in\mathbb{Z},a,a',a''\in\mathbb{Z}^*~$を用いて$~p=[n,a],q=[ n',a'],r=[n'',a'']~$とおく。 \begin{align} [n,a]&~\dot{\times}~([n',a']~\dot{+}~[n'',a''])\\ &=[n,a]~\dot{\times}~[n'a''+n''a',a'a'']\\ &=[n(n'a''+n''a'),a(a'a'')]\\ &=[(nn')(aa'')+(nn'')(aa'),(aa')(aa'')]\\ &=[nn',aa']~\dot{+}~[nn'',aa'']\\ &=([n,a]~\dot{\times}~[n',a'])~\dot{+}~([ n,a]~\dot{\times}~[n'',a'']) \end{align} とできる。

$(2)~$ $(1)$より$~r~\dot{\times}~(p~\dot{+}~q)=(r~\dot{\times}~p)~\dot{+}~(r~\dot{\times}~q)~$が得られ、乗法の可換性より \[ (p~\dot{+}~q)~\dot{\times}~r=(p~\dot{\times}~r)~\dot{+}~(q~\dot{\times}~r) \] となる。

$(1)~$ $n,n'\in\mathbb{Z},a,a'\in\mathbb{Z}^*~$を用いて$~p=[n,a],q=[n',a']~$とおく。
\begin{align} (\dot{-}p)~\dot{\times}~q&=[-n,a]~\dot{\times}~[n',a']\\ &=[(-n)n',aa']\\ &=[-(nn'),aa']\\ &=-[nn',aa']\\ &=-(p~\dot{\times}~q) \end{align} \begin{align} p~\dot{\times}~(\dot{-}q)&=[n,a]~\dot{\times}~[-n',a']\\ &=[n\cdot(-n)',aa']\\ &=[-(nn'),aa']\\ &=-[nn',aa']\\ &=-(p~\dot{\times}~q) \end{align}

$(2)~$ $(1)$より \begin{align} (\dot{-}p)~\dot{\times}~(\dot{-}q)&=\dot{-}(p~\dot{\times}~(\dot{-}q))\\ &=\dot{-}(\dot{-}(p~\dot{\times}~q))\\ &=p~\dot{\times}~q \end{align} となる。

$(3)~$ $q~\dot{-}~r=q~\dot{+}~(\dot{-}r)~$なので、$(1)$より \begin{align} p~\dot{\times}~(q~\dot{-}~r)&=(p~\dot{\times}~q)~\dot{+}~(p~\dot{\times}~(\dot{-}r))\\ &=(p~\dot{\times}~q)~\dot{+}~(\dot{-}(p~\dot{\times}~r))\\ &=(p~\dot{\times}~q)~\dot{-}~(p~\dot{\times}~r) \end{align} となる。

$(4)~$ $(3)$より$~r~\dot{\times}~(p~\dot{-}~q)=(r~\dot{\times}~p)~\dot{-}~(r~\dot{\times}~q)~$が得られ、 \[ (p~\dot{-}~q)~\dot{\times}~r=(p~\dot{\times}~r)~\dot{-}~(q~\dot{\times}~r) \] となる。

$(1)~$ $n,n'\in\mathbb{Z},a,a'\in\mathbb{Z}^*~$を用いて、$p=[n,a],q=[n',a']~$とおく。
$p~\dot{\times}~q=\dot{0}~$とすると、任意の$~s\in\mathbb{Z}^*~$を用いて$~[nn',aa']=[0,s]~$とでき \[ (nn')s=(aa')\cdot0=0 \] となるので、$n=0~$または$~n'=0~$である。
よって、$p=[0,a]=\dot{0}~$または$~q=[0,a']=\dot{0}~$となる。

$(2)~$ $r\neq\dot{0},p~\dot{\times}~r=q~\dot{\times}~r~$とする。
$p~\dot{\times}~r=q~\dot{\times}~r~$の両辺に$\dot{-}(q~\dot{\times}~r)~$を足して \[ (p~\dot{\times}~r)~\dot{-}(q~\dot{\times}~r)=\dot{0} \] 左辺は分配法則より、$(p~\dot{-}~q)~\dot{\times}~r~$となる。
$(1)$の対偶と$~r\neq\dot{0}~$より$~p~\dot{-}~q=\dot{0}~$である。
両辺に$~q~$を足すと$~p=q~$となる。

$Q~$は$~\dot{\times}~$によって可換なモノイドになるので、
$Q\setminus\{\dot{0}\}~$において$~\dot{\times}~$が可換性、結合性をもつことは明らか。
また、明らかに$~\dot{1}\neq\dot{0}~$なので$~Q\setminus\{\dot{0}\}~$は$~\dot{\times}~$の単位元$~\dot{1}~$をもつ。
$Q\setminus\{\dot{0}\}~$の任意の元は$~a,b\in\mathbb{Z}^*~$を用いて$~[a,b]~$と表される。
このとき、 \begin{align} &[b,a]~\dot{\times}~[a,b]=[ba,ab]=\dot{1}\\ &[a,b]~\dot{\times}~[b,a]=[ab,ba]=\dot{1} \end{align} となるので、$[b,a]~$は$~[a,b]~$の$~\dot{\times}~$における逆元である。
よって、$Q\setminus\{\dot{0}\}~$は$~\dot{\times}~$について可換群である。