有理数 (4)疑似有理数の順序関係
$Q~$の任意の元$~[n,a]~$に対して、$a\lt0~$なら$~[-n,-a]=[n,a]~$であり$-a\gt0~$なので、$[n,a]~$という表示の$~a~$を常に$~a\gt0~$となるようにとれる。
$Q~$上の関係$\dot{\le}$を、$a,a'\gt0~$として \[ [n,a]~\dot{\le}~[n',a']\Longleftrightarrow na'\le n'a \] となるように定義する。
$p~\dot{\le}~q~$は$~q~\dot{\ge}~p~$とも書く。
$p=[n,a],q=[n',a'],r=[n'',a'']~$とおく。
$(1)~$ $\le$は反射律を満たすので$~na\le na~$となる。
$(2)~$
$p~\dot{\le}~q,q~\dot{\le}~p~$より、$na'\le n'a,n'a\le n'a~$が成り立つ。
$\le$は対称律を満たすので$~na'=n'a~$となる。
$(3)~$
$p~\dot{\le}~q,q~\dot{\le}~r~$より、
\begin{align}
&na'\le n'a\\
&n'a''\le n''a'
\end{align}
が成り立つ。
よって、
\begin{align}
&(na')a''\le(n'a)a''\\
&(n'a'')a\le(n''a')a
\end{align}
となるので、$(na'')a'\le(n''a)a'~$が成り立つ。
よって、$na''\le n''a~$となる。
$p~\dot{\le}~q~$かつ$~p\neq q~$のとき$~p~\dot{\lt }~q~$(または$~q~\dot{\gt}~p~$)と書く。
また、$p~\dot{\lt}~q~$のとき、$p~$は$~q~$より小さい、$q~$は$~p~$より大きいという。
$(1)~$ 定義から、以下のようになる。 \begin{align} [n,&a]~\dot{\lt}~[n',a']\\ &\Longleftrightarrow[n,a]~\dot{\le}~[n',a']~かつ~[n,a]\neq[n',a']\\ &\Longleftrightarrow na'\le n'a~かつ~na'\neq n'a\\ &\Longleftrightarrow na'\lt n'a \end{align}
$(2)~$
$r=[n'',a'']~(a''\gt0)~$とおく、$(1)$と$~p~\dot{\lt}~q,q~\dot{\lt}~r~$より、
\begin{align}
&na'\lt n'a\\
&n'a''\lt n''a'
\end{align}
が成り立つ。
よって、
\begin{align}
&(na')a''\lt(n'a)a''\\
&(n'a'')a\lt(n''a')a
\end{align}
となるので、$(na'')a'\lt(n''a)a'~$が成り立つ。
よって、$na''\lt n''a~$となる。
$(3)~$ $r=[n'',a'']~(a''\gt0)~$とおく、$(1)$より次のようになる。 \begin{align} [n,&a]~\dot{\lt}~[n',a']\\ &\Longleftrightarrow na'\lt n'a\\ &\Longleftrightarrow (na')(a''a'')\lt(n'a)(a''a'')\\ &\Longleftrightarrow (na')(a''a'')+(n''a'')(aa')\\ &~~~~~~~~~~\lt(n'a)(a''a'')+(n''a'')(aa')\\ &\Longleftrightarrow((na'')+(n''a))(a'a'')\\ &~~~~~~~~~~\lt((n'a'')+(n''a'))(aa'')\\ &\Longleftrightarrow[(na'')+(n''a),aa'']\\ &~~~~~~~~~~~\dot{\lt}~[(n'a'')+(n''a'),a'a'']\\ &\Longleftrightarrow[n,a]~\dot{+}~[n'',a'']~\dot{\lt}~[n',a']~\dot{+}~[n'',a''] \end{align}
$(4)~$
$r=[n'',a'']~(a''\gt0)~$とおく、$r\gt0~$より$~n''\gt0~$である。
$(1)$より次のようになる。
\begin{align}
[n,&a]~\dot{\lt}~[n',a']\\
&\Longleftrightarrow na'\lt n'a\\
&\Longleftrightarrow (na')(n''a'')\lt(n'a)(n''a'')\\
&\Longleftrightarrow(nn'')(a'a'')\lt(n'n'')(aa'')\\
&\Longleftrightarrow[nn'',aa'']~\dot{\lt}~[n'n'',a'a'']\\
&\Longleftrightarrow[n,a]~\dot{\times}~[n'',a'']~\dot{\lt}~[n',a']~\dot{\times}~[n'',a'']
\end{align}
$(1)~$
$n,n'\in\mathbb{Z},a,a'\in\mathbb{Z}^*,a,a'\gt0~$を用いて$~p=[n,a],q=[n',a']~$とおく。
\begin{align}
[n,a]~\dot{\lt}~[n',a']&\Longleftrightarrow na'\lt n'a\\
&\Longleftrightarrow -(n'a)\lt-(na')\\
&\Longleftrightarrow (-n')a\lt(-n)a'\\
&\Longleftrightarrow[-n',a']~\dot{\lt}~[-n,a]
\end{align}
となり、$\dot{-}p=[-n,a],\dot{-}q=[-n',a']~$なので、
\[
p~\dot{\lt}~q\Longleftrightarrow\dot{-}p~\dot{\gt}~\dot{-}q
\]
である。
$(2)~$
$a,a',b,b'\in\mathbb{Z}^*,a,a'\gt0~$を用いて$~p=[a,b],q=[a',b']~$とおく。
\begin{align}
[a,b]~\dot{\lt}~[a',b']&\Longleftrightarrow ab'\lt a'b\\
&\Longleftrightarrow ba'\gt b'a\\
&\Longleftrightarrow[b,a]~\dot{\gt}~[b',a']
\end{align}
となり、$p^{-1}=[b,a],q^{-1}=[b',a']~$なので、
\[
p~\dot{\lt}~q\Longleftrightarrow p^{-1}~\dot{\gt}~q^{-1}
\]
である。
\[ r=[n+n',a+a'] \] とすると、$a,a'\gt0~$より$~a+a'\gt0~$であり、 \begin{align} [n,a]~\dot{\lt}~[n',a']&\Longrightarrow na'\lt n'a\\ &\Longrightarrow na+na'\lt na+n'a\\ &\Longrightarrow n(a+a')\lt(n+n')a\\ &\Longrightarrow[n,a]~\dot{\lt}~[n+n',a+a'] \end{align} \begin{align} [n,a]~\dot{\lt}~[n',a']&\Longrightarrow na'\lt n'a\\ &\Longrightarrow na'+n'a'\lt n'a+n'a'\\ &\Longrightarrow (n+n')a'\lt n(a+a')\\ &\Longrightarrow[n+n',a+a']~\dot{\lt}~[n',a'] \end{align} となるので、$p~\dot{\lt}~r~\dot{\lt}~q~$である。