有理数 (5)有理数
写像$~\varphi:\mathbb{Z}\to Q~$を $$ \varphi(n):=[n,1] $$ となるように定める。
つまり、すべての$~m,n\in\mathbb{Z}~$について次が成り立つ。 \begin{align} (1)&~\varphi(m+n)=\varphi(m)~\dot{+}~\varphi(n)\\ (2)&~\varphi(mn)=\varphi(m)~\dot{\times}~\varphi(n)\\ (3)&~m\le n\Longleftrightarrow\varphi(m)~\dot{\le}~\varphi(n) \end{align}
\begin{align} \varphi(m)=\varphi(n)&\Longrightarrow[m,1]=[n,1]\\ &\Longrightarrow m\cdot1=n\cdot1\\ &\Longrightarrow m=n \end{align} となるので、$\varphi~$は単射である。
$(1)~$
\begin{align}
\varphi(m)~\dot{+}~\varphi(n)&=[m,1]~\dot{+}~[n,1]\\
&=[(m1)+(n\cdot1),1\cdot1]\\
&=[m+n,1]\\
&=\varphi(m+n)
\end{align}
となるので、$\varphi~$は加法を保つ。
$(2)~$
\begin{align}
\varphi(m)~\dot{\times}~\varphi(n)&=[m,1]~\dot{\times}~[n,1]\\
&=[mn,1\cdot1]\\
&=[mn,1]\\
&=\varphi(mn)
\end{align}
となるので、$\varphi~$は乗法を保つ。
$(3)~$
\begin{align}
m\le n&\Longleftrightarrow m\cdot1\le n\cdot1\\
&\Longleftrightarrow [m,1]~\dot{\le}~[n,1]\\
&\Longleftrightarrow \varphi(m)~\dot{\le}~\varphi(n)
\end{align}
となるので、$\varphi~$は順序関係を保つ。
ここで$~\mathbb{Z}~$を包含する集合$~\mathbb{Q}~$を全単射$~\psi:Q\to\mathbb{Q}~$により作る。
ただし、$\psi~$による値を次のように表記する。 \[ \psi([n,a])=\frac{n}{a} \] $\dfrac{n}{1}=n~$とすると、明らかに$~\psi(\varphi(\mathbb{Z}))=\mathbb{Z}~$である。
このとき、$m,n\in\mathbb{Z},a,b\in\mathbb{Z}^*~$について \begin{align} \frac{m}{a}=\frac{n}{b}&\Longleftrightarrow[m,a]=[n,b]\\ &\Longleftrightarrow mb=na \end{align} が成り立つ。
この集合$~\mathbb{Q}~$の元を有理数という。
また、定義から$~\mathbb{Q}~$は \[ \mathbb{Q} = \left\{\left.\frac{n}{a}~\right|~n\in\mathbb{Z},a\in\mathbb{Z}^*\right\} \] という集合である。