集合と関係 (5)順序同型
順序関係$~R~$が定められた集合$~X~$を順序集合といい、$(X,R)~$で表す。 順序関係$~R~$が半順序のときは半順序集合、全順序のときは全順序集合という。
また、考えている順序が明らかなときなどは単に$~X~$を順序集合という。
$(X,R)~$を順序集合、$A\subset X~$を部分集合とし、任意の$~a,b\in A~$に対して、 \[ aR_Ab\Longleftrightarrow aRb \] と定めると$~(A,R_A)~$は順序集合になり、これを$~(X,R)~$の部分順序集合という。
順序集合$~(X,R_X),(Y,R_Y)~$に対して、写像$~f:X\to Y~$が任意の$~x_1,x_2\in X~$に対して \[ x_1R_Xx_2\Longrightarrow f(x_1)R_Yf(x_2) \] を満たすとき、$f~$は順序保存写像であるという。
順序保存写像$~f:X\to Y~$が全単射で、逆写像$~f^{-1}:Y\to X~$も順序保存写像であるとき、$f~$は順序同型写像であるという。
順序集合$~(X,R_X)~$から$~(Y,R_Y)~$への順序同型写像があるとき、$(X,R_X)~$と$~(Y,R_Y)~$は順序同型であるといい、$(X,R_X)\simeq(Y,R_Y)~$と書くことにする。
定理5
任意の順序集合$~(X,R_X),(Y,R_Y),(Z,R_Z)~$に対して、次が成り立つ。
\begin{align}
(1)&~(X,R_X)\simeq(X,R_X)\\
(2)&~(X,R_X)\simeq(Y,R_Y)\Longrightarrow(Y,R_Y)\simeq(X,R_X)\\
(3)&~(X,R_X)\simeq(Y,R_Y)~かつ~(Y,R_Y)\simeq(Z,R_Z)\Longrightarrow(X,R_X)\simeq(Z,R_Z)
\end{align}
$(1)~$ 恒等写像$~\iota:X\to X~$は順序同型写像である。
$(2)~$ $f:X\to Y~$を順序同型写像であるとすると、その逆写像$~f^{-1}:Y\to X~$も順序同型写像である。
$(3)~$ $f:X\to Y,g:Y\to Z~$を順序同型写像とする。
\[
x_1R_Xx_2\Longrightarrow f(x_1)R_Yf(x_2)\Longrightarrow g(f(x_1))R_Zg(f(x_2))
\]
なので、$g\circ f:X\to Z~$は順序保存写像である。また、これは全単射であり、逆写像も順序保存写像である。
よって、$g\circ f:X\to Z~$は順序同型写像である。