多項式環 (4)多変数多項式
$A~$を環、$X_1,\dots,X_n~$を変数記号とする。
有限個を除いてすべて$0$であるような、$a_{i_1,\dots,i_n}\in A~(i_1,\dots,i_n\in\mathbb{N})~$を用いて \[ \sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\mathbb{N}^n}a_{i_1,\dots,i_n}{X_1}^{i_1}\cdots{X_n}^{i_n} \] と表されるもの(条件からこれは有限和)を$~A$上の$~n$変数多項式という。
$A$上の$~n$変数多項式全体を$~A[X_1,\dots,X_n]~$と書く。
一変数のときと同様に$~A\subset A[X_1,\dots,X_n]~$とみなす。
また、$X_i~(i=1,\dots,n)~$に対して$~A[X_i]\subset A[X_1,\dots,X_n]~$や、$\{i_1,\dots,i_m\}\subset\{1,\dots,n\}~$に対して$~A[X_{i_1},\dots,X_{i_m}]\subset A[X_1,\dots,X_n]~$ともみなせる。
簡単のために、変数記号の組$~\boldsymbol{X}=(X_1,\dots,X_n)~$を用いて$~A[X_1,\dots,X_n]~$を$~A[\boldsymbol{X}]~$と表すことがある。
これを用いて、${X_1}^{i_1}\dots{X_n}^{i_n}~(i_1,\dots,i_n\in\mathbb{N})~$を$~\boldsymbol{X}^{(i_1,\dots,i_n)}~$と表記することもある。
この表記法では、$\boldsymbol{X}=(X_1,\dots,X_n)~$に対する$~A[\boldsymbol{X}]~$の任意の元は \[ \sum_{I\in\mathbb{N}^n}a_I\boldsymbol{X}^I \] と表されるものになる。
以降多項式環の頁では、$X~$や$~X_i~(i=1,2,3,\dots)~$などは変数記号、$\boldsymbol{X}~$は変数記号の組を表すものとする。
また、$\boldsymbol{X}~$がいくつの変数記号の組であるかを$~\#\boldsymbol{X}~$で表すことにする。
$A~$を可換環、$\#\boldsymbol{X}=n$、$f(\boldsymbol{X}),g(\boldsymbol{X})\in A[\boldsymbol{X}]~$とする。
\begin{align} f(\boldsymbol{X}) &= \sum_{I\in\mathbb{N}^n}a_I\boldsymbol{X}^I\\ g(\boldsymbol{X}) &= \sum_{I\in\mathbb{N}^n}b_I\boldsymbol{X}^I \end{align} と表すことができる。
このとき、これらの和と積を \[ f(\boldsymbol{X})+g(\boldsymbol{X}) = \sum_{I\in\mathbb{N}^n}(a_I+b_I)\boldsymbol{X}^I \] \[ f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X}) = \sum_{I\in\mathbb{N}^n}\sum_{J\in\mathbb{N}^n}a_Ib_J\boldsymbol{X}^{I+J} \] と定める。
(ただし、$(i_1,\dots,i_n),(j_1,\dots,j_n)\in\mathbb{N}~$に対して$~(i_1,\dots,i_n)+(j_1,\dots,j_n)=(i_1+j_1,\dots,i_n+j_n)~$である。)
このとき、これらは$~A[\boldsymbol{X}]~$上の演算であり、これによって$~A[\boldsymbol{X}]~$は可換環になる。
$A[\boldsymbol{X}]~$を$~A$上の$~n$変数多項式環という。
$A~$を可換環、$f(X_1,\dots,X_n)\in A[X_1,\dots,X_n]\setminus\{0\}~$とする。
\[ f(X_1,\dots,X_n) = \sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\mathbb{N}^n}a_{i_1,\dots,i_n}{X_1}^{i_1}\cdots{X_n}^{i_n} \] と表されるとき \[ \mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(X_1,\dots,X_n) = \max\{i_1+\cdots+i_n \mid a_{i_1,\dots,i_n}\neq0\} \] と定め、これを$~f(X_1,\dots,X_n)~$の次数という。
$f(X_1,\dots,X_n)=0~$のときは便宜上$~\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(X_1,\dots,X_n)=-\infty~$と書く。
$(1)~$ $\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits(f(\boldsymbol{X})+g(\boldsymbol{X}))\le\mathrm{max}\{\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(\boldsymbol{X}),\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits g(\boldsymbol{X})\}$
$(2)~$ $f(\boldsymbol{X})~$または$~g(\boldsymbol{X})~$が係数が零因子でない最高次の項をもつなら$~f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X})\neq0~$であり、$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits(f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X}))=\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(\boldsymbol{X})+\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits g(\boldsymbol{X})~$となる。
$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(\boldsymbol{X})=m,\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits g(\boldsymbol{X})=n~$とし \begin{align} f(\boldsymbol{X}) &= \sum_{I\in\mathbb{N}^k}a_I\boldsymbol{X}^I\\ g(\boldsymbol{X}) &= \sum_{I\in\mathbb{N}^k}b_I\boldsymbol{X}^I \end{align} と表されているとする。
また、$(i_1,\dots,i_k)\in\mathbb{N}^k~$に対して$~|(i_1,\dots,i_k)|=i_1+\cdots+i_k~$とする。
$(1)~$
\[
f(\boldsymbol{X})+g(\boldsymbol{X}) = \sum_{I\in\mathbb{N}^k}(a_I+b_I)\boldsymbol{X}^I
\]
であり、$a_I+b_I\neq0~$となるのは$~|I|\le\max\{m,n\}~$のときのみである。
よって、$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits(f(\boldsymbol{X})+g(\boldsymbol{X}))\le\mathrm{max}\{m,n\}~$である。
$(2)~$
$f(\boldsymbol{X})~$が非零因子係数の最高次の項をもつとしても一般性を失わない。
$|I|=m~$かつ$~a_I~$は零因子でないような$~I\in\mathbb{N}^k~$がとれる。
また、$|J|=n,b_J\neq0~$となる$~J\in\mathbb{N}^k~$もとれる。
このとき、$f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X})~$は$~a_Ib_JX^{I+J}~$という項をもつ。
$b_J\neq0~$であり、$a_I~$は零因子でないのでこの項は$~0~$ではない。
よって、$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits(f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X}))\ge|I+J|=m+n~$となる。
$\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits(f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X}))\le m+n~$であることは明らかである。
$A[X_1,\dots,X_n]~$の任意の元に対して \[ \sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\mathbb{N}^n}a_{i_1,\dots,i_n}{X_1}^{i_1}\cdots{X_n}^{i_n} = \sum_{i_n\in\mathbb{N}}\left(\sum_{(i_1,\dots,i_{n-1})\in\mathbb{N}^{n-1}}a_{i_1,\dots,i_{n-1},i_n}{X_1}^{i_1}\cdots{X_{n-1}}^{i_{n-1}}\right){X_n}^{i_n} \] と書きかえることができる。
よって、$A[X_1,\dots,X_n]=A[X_1,\dots,X_{n-1}][X_n]~$となる。
これと命題1を用いれば、整域上の多変数多項式環がまた整域になることが帰納的に示される。
$f(\boldsymbol{X})\in A[X]^{\times}~$を任意にとる。
このとき、$f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X})=1~$となる$~g(\boldsymbol{X})\in A[\boldsymbol{X}]~$がとれる。
\[ \mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(\boldsymbol{X})+\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits g(\boldsymbol{X}) = \mathop{\mathrm{deg}}\nolimits(f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X})) = \mathop{\mathrm{deg}}\nolimits1 = 0 \] となり、次数は非負整数なので$~\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits f(\boldsymbol{X})=\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits g(\boldsymbol{X})=0~$である。
したがって、$f(\boldsymbol{X}),g(\boldsymbol{X})\in A~$である。
また、$f(\boldsymbol{X})g(\boldsymbol{X})=1~$より$~f(\boldsymbol{X})\in A^{\times}~$となる。
$\displaystyle f(X_1,\dots,X_n)=\sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\mathbb{N}^n}a_{i_1,\dots,i_n}{X_1}^{i_1}\cdots{X_n}^{i_n}\in A[X_1,\dots,X_n]~$と$~x_1,\dots,x_n\in A~$に対して \[ f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\mathbb{N}^n}a_{i_1,\dots,i_n}{x_1}^{i_1}\cdots{x_n}^{i_n}~\in A \] と定め、これを考える操作を代入という。
$(x_1,\dots,x_n)\in A^n~$を$~\boldsymbol{x}~$などと表し、$f(\boldsymbol{x})=f(x_1,\dots,x_n)~$と表すこともある。
任意の$~x_1,\dots,x_n\in B~$に対して \[ A[x_1,\dots,x_n] = \{f(x_1,\dots,x_n)\mid f(X_1,\dots,X_n)\in A[X_1,\dots,X_n]\} \] は$~B~$の部分環になる。
$a,b\in A[x_1,\dots,x_n]~$を任意にとる。
\begin{align} a &= \sum_{I\in\mathbb{N}^n}a_I\boldsymbol{x}^I\\ b &= \sum_{I\in\mathbb{N}^n}b_I\boldsymbol{x}^I \end{align} となる$~a_I,b_I~(I\in\mathbb{N}^n)~$がある($\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_n)$)。
このとき、 \[ a+b = \sum_{I\in\mathbb{N}^n}(a_I+b_I)\boldsymbol{x}^I \] \[ ab = \sum_{I\in\mathbb{N}^n}\sum_{J\in\mathbb{N}^n}a_Ib_J\boldsymbol{x}^{I+J} \] となる。
よって、$a+b,ab\in A[x_1,\dots,x_n]~$である。