多項式環　(1)多項式環

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　$A~$を環、$X~$を変数記号とする。
有限個の$~a_0,a_1,\dots,a_n\in A~$を用いて \[ a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n \] と表されるものを$~A$上の(一変数)多項式であるという。
$A$上の多項式全体を$~A[X]~$と書く。
多項式$~a_0+\cdots+a_nX^n~$の各$~a_0,\dots,a_nX^n~$を項という。
また、$a_0~$を定数項といい、$a_iX^i~(i=0,\dots,n)~$を$~i~$次の項という。
各$~a_i~(i=0,\dots,n)~$は$~i~$次の係数という。
$f(X)=a~$のような定数項のみの多項式は$~A~$の元とみなし、$A\subset A[X]~$とする。

　$A~$を可換環、$f(X),g(X)\in A~$とする。
\begin{align} f(X)&=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n\\ g(X)&=b_0+b_1X+\cdots+b_mX^m \end{align} と表すことができる。
このとき、和$~f(X)+g(X)~$と積$~f(X)g(X)~$を次のように定義する。 \begin{align} f(X)+g(X) &= (a_0+b_0)+\cdots+(a_N+b_N)X^N\\ &= \sum_{i=0}^{N}(a_i+b_i)X^i \end{align} \begin{align} f(X)g(X) &= a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)X+\cdots+(a_{n-1}b_m+a_{n}b_{m-1})X^{n+m-1}+a_nb_mX^{n+m}\\ &= \sum_{i=0}^{n+m}\left(\sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j}\right)X^i \end{align} (ただし、$N=\max\{n,m\}$、$i\gt n~$や$~j\gt m~$となるものに対しては$~a_i=b_j=0~$である。)
この和と積によって、$A[X]~$は可換環となる。
$A[X]~$は$~A$上の(一変数)多項式環という。