集合論 (2)集合の濃度
命題6
集合$~A,B,C~$について次が成り立つ。
\begin{align}
(1)&~A\sim A\\
(2)&~A\sim B\Longrightarrow B\sim A\\
(3)&~A\sim B~かつ~B\sim C\Longrightarrow A\sim C
\end{align}
$(1)~$ 恒等写像$~A\to A~$は全単射である。
$(2)~$
$A\sim B~$とし、$f:A\to B~$を全単射とする。
このとき、$f~$の逆写像$~f^{-1}:B\to A~$は全単射である。
$(3)~$
$A\sim B~$かつ$~B\sim C~$とし、$f:A\to B,g:B\to C~$を全単射とする。
このとき、$g\circ f:A\to B~$は全単射である。
集合$~A~$の$\sim$による同値類のようなものを$~A~$の濃度(cardinality,power)といい、$|A|~$や$~\mathrm{card}(A)~$と書く。 また、 \begin{align} &|\emptyset|=0\\ &|\{0,1,\dots,n-1\}|=n\\ &|\mathbb{N}|=\aleph_0 \end{align} と定める。
自然数で表される濃度を有限濃度、それ以外の濃度を無限濃度という。
また、$\aleph_0~$を可算濃度、それ以外の無限濃度を非可算濃度という。
可算濃度を持つ集合を可算集合、それ以外の無限集合を非可算集合という。
高々可算は有限または可算であることを意味する。