可換環論　(2)素イデアル

任意の$~a\in A~$に対して \[ a\in\mathfrak{p} \Longleftrightarrow a+\mathfrak{p}=\mathfrak{p} \] が成り立つことに注意する。

$(1),(2)$をそれぞれ言い換えると \begin{align*} \mathfrak{p}は素イデアル &\Longleftrightarrow ({}^{\forall}a,b\in A, a,b\notin\mathfrak{p} \Longrightarrow ab\notin\mathfrak{p}) \\ A/\mathfrak{p}は整域 &\Longleftrightarrow ({}^{\forall}\mathfrak{a},\mathfrak{b}\in A/\mathfrak{p}, \mathfrak{a},\mathfrak{b}\neq\mathfrak{p} \Longrightarrow \mathfrak{a}\mathfrak{b}\neq\mathfrak{p}) \end{align*} となる。
また、$A/\mathfrak{p}~$の任意の元はある$~a\in A~$を用いて$~a+\mathfrak{p}~$と表されるので \begin{align*} A/\mathfrak{p}は整域 &\Longleftrightarrow ({}^{\forall}\mathfrak{a},\mathfrak{b}\in A/\mathfrak{p}, \mathfrak{a},\mathfrak{b}\neq\mathfrak{p} \Longrightarrow \mathfrak{a}\mathfrak{b}\neq\mathfrak{p}) \\ &\Longleftrightarrow ({}^{\forall}a,b\in A, a+\mathfrak{p},b+\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p} \Longrightarrow (a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})\neq\mathfrak{p}) \\ &\Longleftrightarrow ({}^{\forall}a,b\in A, a+\mathfrak{p},b+\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p} \Longrightarrow ab+\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p}) \end{align*} とできる。
ここで、上で述べた注意を用いると \[ ({}^{\forall}a,b\in A, a+\mathfrak{p},b+\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p} \Longrightarrow ab+\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p}) \Longleftrightarrow ({}^{\forall}a,b\in A, a,b\notin\mathfrak{p} \Longrightarrow ab\notin\mathfrak{p}) \] となるので、$(1)$と$(2)$の同値性がわかる。

$(1)~$ $\pi:B\to B/\mathfrak{q}~$を自然な準同型とする。
このとき、$\pi\circ\varphi:A\to B/\mathfrak{q}~$の核は$~\varphi^{-1}(\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits\pi)=\varphi^{-1}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}~$である。
よって、第一同型定理より$~A/\mathfrak{p}\simeq\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits(\pi\circ\varphi)\subset B/\mathfrak{q}~$となる。

$(2)~$ $\mathfrak{q}~$が素イデアルなので、$B/\mathfrak{q}~$は整域である。
よって、$\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits(\pi\circ\varphi)\subset B/\mathfrak{q}~$も整域である。
$A/\mathfrak{p}\simeq\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits(\pi\circ\varphi)~$なので、$A/\mathfrak{p}~$は整域である。

すべての$~I_1,\dots,I_n~$が$~\mathfrak{p}~$に含まれていないと仮定して矛盾を導く。
このとき、$i=1,\dots,n~$に対して$~x_i\in I_i\setminus\mathfrak{p}~$となる$~x_i~$がとれる。
$x=x_1\cdots x_n~$とおくと、$x\in I_1\cap\cdots\cap I_n~$だが、$\mathfrak{p}~$は素イデアルなので$~x\notin\mathfrak{p}~$である。
これは$~I_1\cap\cdots\cap I_n\subset\mathfrak{p}~$に矛盾する。

$(A/I)/(I/\mathfrak{p})\simeq A/\mathfrak{p}~$なので、両辺が整域であることは同値である。