「$1+1=2$の証明は非常に困難であり、それを証明するためには数百頁も必要になる」という話を聞いたことがある人もいると思う。 いつの時代にどのような証明があったのかを知らないので、この話の真偽は定かではないが、少なくとも現在ではこのようなPDFに簡単にまとめられるものである。 Peanoの公理という自然数論の公理から自然数、自然数の加法の定義をすると$1+1=2$が簡単に導かれる。 (Peanoの公理がメタ的な自然数論を形式化しようとしたものであるから、当然の結果なのだが。) このPDFでは$1+1=2$に加え、説明が難しいと言われる$(-1)\times(-1)=1$の証明も行っている。
　前提知識は集合論を知っていれば十分に読めるものである。 内容の関係で、自然数や整数の頁とかぶるものがあるが、これはこのPDFはこれらの頁の内容の一部を搔い摘んだような構成になっているからである。
　また、これは数学基礎論に近い内容になっているため、数学基礎論の入口に立つためのものとしても使えると思う。 これを読んで数学基礎論に興味を持っていただければ幸いである。 その際は、公理的集合論などがこの内容に近いと思うので、ぜひ学んでみてはどうだろうか。